Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climexp 38496
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1 𝑘𝜑
climexp.2 𝑘𝐹
climexp.3 𝑘𝐻
climexp.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
climexp.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climexp.6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climexp.7 (𝜑𝐹𝐴)
climexp.8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
climexp.9 (𝜑𝐻𝑉)
climexp.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁))
Assertion
Ref Expression
climexp (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climexp.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climexp.8 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4 eqid 2609 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54expcn 22431 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
74cncfcn1 22469 . . . . 5 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
86, 7syl6eleqr 2698 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9 climexp.6 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
10 climexp.7 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
11 climcl 14027 . . . . 5 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 22459 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘𝐴))
14 eqidd 2610 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
15 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
1615oveq1d 6542 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝑁) = (𝐴𝑁))
1712, 3expcld 12828 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
1814, 16, 12, 17fvmptd 6182 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘𝐴) = (𝐴𝑁))
1913, 18breqtrd 4603 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴𝑁))
20 climexp.9 . . 3 (𝜑𝐻𝑉)
21 cnex 9874 . . . . 5 ℂ ∈ V
2221mptex 6368 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ V
23 fvex 6098 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
241, 23eqeltri 2683 . . . . 5 𝑍 ∈ V
25 fex 6372 . . . . 5 ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
269, 24, 25sylancl 692 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
27 coexg 6988 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
2822, 26, 27sylancr 693 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
29 eqidd 2610 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
30 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑗)) → 𝑥 = (𝐹𝑗))
3130oveq1d 6542 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑗)) → (𝑥𝑁) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
329ffvelrnda 6252 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
333adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3432, 33expcld 12828 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑗)↑𝑁) ∈ ℂ)
3529, 31, 32, 34fvmptd 6182 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
36 fvco3 6170 . . . . 5 ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑗𝑍) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)))
379, 36sylan 486 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)))
38 climexp.1 . . . . . . 7 𝑘𝜑
39 nfv 1829 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
4038, 39nfan 1815 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
41 climexp.3 . . . . . . . 8 𝑘𝐻
42 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
4341, 42nffv 6095 . . . . . . 7 𝑘(𝐻𝑗)
44 climexp.2 . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
4544, 42nffv 6095 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑗)
46 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑘
47 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑘𝑁
4845, 46, 47nfov 6553 . . . . . . 7 𝑘((𝐹𝑗)↑𝑁)
4943, 48nfeq 2761 . . . . . 6 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁)
5040, 49nfim 1812 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
51 eleq1 2675 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
5251anbi2d 735 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
53 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
54 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
5554oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)↑𝑁) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
5653, 55eqeq12d 2624 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁)))
5752, 56imbi12d 332 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))))
58 climexp.10 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁))
5950, 57, 58chvar 2249 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
6035, 37, 593eqtr4rd 2654 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗))
611, 20, 28, 2, 60climeq 14095 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐴𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴𝑁)))
6219, 61mpbird 245 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wnf 1698  wcel 1976  wnfc 2737  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  cexp 12680  cli 14012  TopOpenctopn 15854  fldccnfld 19516   Cn ccn 20786  cnccncf 22435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  38798
  Copyright terms: Public domain W3C validator