Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveqf 39712
 Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveqf.p 𝑘𝜑
climfveqf.n 𝑘𝐹
climfveqf.o 𝑘𝐺
climfveqf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveqf.f (𝜑𝐹𝑉)
climfveqf.g (𝜑𝐺𝑊)
climfveqf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveqf.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climfveqf (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climdm 14266 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
21biimpi 206 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
32adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
43, 1sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
5 climfveqf.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climfveqf.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑉)
7 climfveqf.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑊)
8 climfveqf.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 climfveqf.p . . . . . . . . . . 11 𝑘𝜑
10 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑗
1110nfel1 2776 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝑍
129, 11nfan 1826 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
13 climfveqf.n . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐹
1413, 10nffv 6185 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐹𝑗)
15 climfveqf.o . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐺
1615, 10nffv 6185 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐺𝑗)
1714, 16nfeq 2773 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)
1812, 17nfim 1823 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
19 eleq1 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2019anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
21 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
22 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2321, 22eqeq12d 2635 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)))
2420, 23imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))))
25 climfveqf.e . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2618, 24, 25chvar 2260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
275, 6, 7, 8, 26climeldmeq 39697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
294, 28mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
30 climdm 14266 . . . . 5 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
3129, 30sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
327adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺𝑊)
336adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
348adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3526eqcomd 2626 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) = (𝐹𝑗))
3635adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) = (𝐹𝑗))
375, 32, 33, 34, 36climeq 14279 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
3831, 37mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
39 climuni 14264 . . 3 ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
403, 38, 39syl2anc 692 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
41 ndmfv 6205 . . . 4 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
4241adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
43 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4427adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
4543, 44mtbid 314 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
46 ndmfv 6205 . . . 4 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
4842, 47eqtr4d 2657 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
4940, 48pm2.61dan 831 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481  Ⅎwnf 1706   ∈ wcel 1988  Ⅎwnfc 2749  ∅c0 3907   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  ‘cfv 5876  ℤcz 11362  ℤ≥cuz 11672   ⇝ cli 14196 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200 This theorem is referenced by:  climfveqmpt2  39725
 Copyright terms: Public domain W3C validator