Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveqmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveqmpt 39325
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveqmpt.k 𝑘𝜑
climfveqmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveqmpt.A (𝜑𝐴𝑅)
climfveqmpt.i (𝜑𝑍𝐴)
climfveqmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
climfveqmpt.t (𝜑𝐶𝑆)
climfveqmpt.l (𝜑𝑍𝐶)
climfveqmpt.c ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
climfveqmpt.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climfveqmpt (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climfveqmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climfveqmpt.A . . 3 (𝜑𝐴𝑅)
32mptexd 6444 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climfveqmpt.t . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
54mptexd 6444 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climfveqmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climfveqmpt.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1825 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1110nfcsb1 3530 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1210nfcsb1 3530 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1311, 12nfeq 2772 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 739 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3524 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3524 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climfveqmpt.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climfveqmpt.i . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐴)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐴)
25 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2624, 25sseldd 3585 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
27 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
28 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
297, 28nfan 1825 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
30 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘𝑉
3111, 30nfel 2773 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑉
3229, 31nfim 1822 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
33 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
3433anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
3517eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑉𝑗 / 𝑘𝐵𝑉))
3634, 35imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)))
37 climfveqmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
3832, 36, 37chvar 2261 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
39 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
4010, 11, 17, 39fvmptf 6259 . . . . 5 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑉) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4127, 38, 40syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4226, 41syldan 487 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
43 climfveqmpt.l . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐶)
4443adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐶)
4544, 25sseldd 3585 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
46 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗𝐶)
47 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐶
487, 47nfan 1825 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐶)
49 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘𝑊
5012, 49nfel 2773 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷𝑊
5148, 50nfim 1822 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
52 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐶𝑗𝐶))
5352anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
5418eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑊𝑗 / 𝑘𝐷𝑊))
5553, 54imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)))
56 climfveqmpt.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
5751, 55, 56chvar 2261 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
58 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
5910, 12, 18, 58fvmptf 6259 . . . . 5 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑊) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6046, 57, 59syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐶) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6145, 60syldan 487 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6222, 42, 613eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
631, 3, 5, 6, 62climfveq 39323 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  Vcvv 3186  csb 3515  wss 3556  cmpt 4675  cfv 5849  cz 11324  cuz 11634  cli 14152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156
This theorem is referenced by:  fnlimfvre  39328
  Copyright terms: Public domain W3C validator