Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climi2 14176
 Description: Convergence of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climi.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climi.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climi.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climi.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
climi.5 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climi2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climi2
StepHypRef Expression
1 climi.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climi.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climi.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
4 climi.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 climi.5 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
61, 2, 3, 4, 5climi 14175 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
7 simpr 477 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶) → (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
87ralimi 2947 . . 3 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
98reximi 3005 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
106, 9syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878   < clt 10018   − cmin 10210  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ℝ+crp 11776  abscabs 13908   ⇝ cli 14149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632  df-clim 14153 This theorem is referenced by:  rlimclim  14211  climcn1  14256  climcn2  14257  climsqz  14305  climsqz2  14306  mertenslem2  14542  uniioombllem6  23262  ulmcau  24053  ulmdvlem3  24060  rrncmslem  33263  cvgdvgrat  37994  stoweidlem7  39531
 Copyright terms: Public domain W3C validator