Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climim 14318
 Description: Limit of the imaginary part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn1lem.2 (𝜑𝐹𝐴)
climcn1lem.4 (𝜑𝐺𝑊)
climcn1lem.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climim.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climim (𝜑𝐺 ⇝ (ℑ‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climim
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcn1lem.2 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
3 climcn1lem.4 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
4 climcn1lem.5 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climcn1lem.6 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6 imf 13834 . . 3 ℑ:ℂ⟶ℝ
7 ax-resscn 9978 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
8 fss 6043 . . 3 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℂ)
96, 7, 8mp2an 707 . 2 ℑ:ℂ⟶ℂ
10 imcn2 14313 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))) < 𝑥))
11 climim.7 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11climcn1lem 14314 1 (𝜑𝐺 ⇝ (ℑ‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ⊆ wss 3567   class class class wbr 4644  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  ℂcc 9919  ℝcr 9920  ℤcz 11362  ℤ≥cuz 11672  ℑcim 13819   ⇝ cli 14196 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200 This theorem is referenced by:  mbflim  23416
 Copyright terms: Public domain W3C validator