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Theorem climisp 41903
Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climisp.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climisp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climisp.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climisp.c (𝜑𝐹𝐴)
climisp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climisp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climisp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1906 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
2 nfra1 3216 . . . 4 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
31, 2nfan 1891 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4 simplll 771 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
5 climisp.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
65uztrn2 12250 . . . . 5 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
76ad4ant24 750 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
8 rspa 3203 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
98simprd 496 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
109adantll 710 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
11 simpl3 1185 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
12 neqne 3021 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)
13 climisp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
1413rpred 12419 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
16 climisp.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
1716ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climisp.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝐴)
195fvexi 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ∈ V)
2116, 20fexd 41256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ V)
22 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
2321, 22clim 14839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
2418, 23mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
2524simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2717, 26subcld 10985 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
2827abscld 14784 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
30 climisp.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
31303expa 1110 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3215, 29, 31lensymd 10779 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3312, 32sylan2 592 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
34333adantl3 1160 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3511, 34condan 814 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
364, 7, 10, 35syl3anc 1363 . . 3 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
373, 36ralrimia 41274 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
38 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
3938anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4039rexralbidv 3298 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4124simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4240, 41, 13rspcdva 3622 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
43 climisp.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
445rexuz3 14696 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4642, 45mpbird 258 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4737, 46reximddv3 41296 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  abscabs 14581  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833
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