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Theorem climleltrp 39312
Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climleltrp.k 𝑘𝜑
climleltrp.f 𝑘𝐹
climleltrp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climleltrp.n (𝜑𝑁𝑍)
climleltrp.r ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climleltrp.a (𝜑𝐹𝐴)
climleltrp.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
climleltrp.l (𝜑𝐴𝐶)
climleltrp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
climleltrp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑁,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climleltrp
StepHypRef Expression
1 climleltrp.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 climleltrp.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleq 2708 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzss 11652 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
65, 2syl6sseqr 3631 . 2 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
7 climleltrp.k . . . 4 𝑘𝜑
8 climleltrp.f . . . 4 𝑘𝐹
9 uzssz 11651 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
109, 3sseldi 3581 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 eqid 2621 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
12 climleltrp.a . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
13 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
14 climleltrp.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
157, 8, 10, 11, 12, 13, 14clim2d 39309 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
16 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)
177, 16nfan 1825 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
18 simplll 797 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝜑)
19 uzss 11652 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
2019ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
21 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
2220, 21sseldd 3584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
24 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
25 climleltrp.r . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2613, 25eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
28 climcl 14164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3126recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3230, 31pncan3d 10339 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝐹𝑘))
3332eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3433adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3534, 27eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
36 climleltrp.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3736ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
387, 8, 11, 10, 12, 25climreclf 39300 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
4027, 39resubcld 10402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
4137, 40readdcld 10013 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
4214rpred 11816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
4437, 43readdcld 10013 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + 𝑋) ∈ ℝ)
45 climleltrp.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝐶)
4645ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴𝐶)
4739, 37, 40, 46leadd1dd 10585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≤ (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4831adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4930adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
5150abscld 14109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5240leabsd 14087 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
53 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
5440, 51, 43, 52, 53lelttrd 10139 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) < 𝑋)
5540, 43, 37, 54ltadd2dd 10140 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5635, 41, 44, 47, 55lelttrd 10139 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5734, 56eqbrtrd 4635 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))
5827, 57jca 554 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
5918, 23, 24, 58syl21anc 1322 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6059adantrl 751 . . . . . 6 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6160ex 450 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6217, 61ralimdaa 2952 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6362reximdva 3011 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6415, 63mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
65 ssrexv 3646 . 2 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
666, 64, 65sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wral 2907  wrex 2908  wss 3555   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  abscabs 13908  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154
This theorem is referenced by:  smflimlem2  40287
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