Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminflimsupd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminflimsupd 40351
Description: If a sequence of real numbers converges, its inferior limit and its superior limit are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminflimsupd.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climliminflimsupd.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climliminflimsupd.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climliminflimsupd.4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climliminflimsupd (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem climliminflimsupd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climliminflimsupd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
21feqmptd 6288 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
32fveq2d 6233 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
4 climliminflimsupd.2 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
54fvexi 6240 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
65mptex 6527 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V
7 liminfcl 40313 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ*)
11 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘𝜑
12 climliminflimsupd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
131ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1511, 12, 4, 14limsupvaluz4 40350 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))))
16 climrel 14267 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Rel ⇝ )
18 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐹
19 climliminflimsupd.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2012, 4, 1climlimsup 40310 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
2119, 20mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
2213recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2311, 18, 4, 12, 21, 22climneg 40160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹))
24 releldm 5390 . . . . . . . . 9 ((Rel ⇝ ∧ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ )
2517, 23, 24syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ )
26 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))
2714, 26fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)):𝑍⟶ℝ)
2812, 4, 27climlimsup 40310 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)))))
2925, 28mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))))
30 climuni 14327 . . . . . . 7 (((𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) ∧ (𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘)) ⇝ -(lim sup‘𝐹)) → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
3129, 23, 30syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -(𝐹𝑘))) = -(lim sup‘𝐹))
3222negnegd 10421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → --(𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
3332mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
3433, 2eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘)) = 𝐹)
3534fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))) = (lim inf‘𝐹))
3635xnegeqd 39977 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ --(𝐹𝑘))) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
3715, 31, 363eqtr3d 2693 . . . . 5 (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) = -𝑒(lim inf‘𝐹))
384, 12, 21, 13climrecl 14358 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
3938renegcld 10495 . . . . 5 (𝜑 → -(lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
4037, 39eqeltrrd 2731 . . . 4 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
41 xnegrecl2 40003 . . . 4 (((lim inf‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim inf‘𝐹) ∈ ℝ) → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
4210, 40, 41syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
4342recnd 10106 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℂ)
4438recnd 10106 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
4542rexnegd 39648 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim inf‘𝐹) = -(lim inf‘𝐹))
4637, 45eqtr2d 2686 . 2 (𝜑 → -(lim inf‘𝐹) = -(lim sup‘𝐹))
4743, 44, 46neg11d 10442 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  wf 5922  cfv 5926  cr 9973  *cxr 10111  -cneg 10305  cz 11415  cuz 11725  -𝑒cxne 11981  lim supclsp 14245  cli 14259  lim infclsi 40301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-ico 12219  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-liminf 40302
This theorem is referenced by:  climliminf  40356  climliminflimsup  40358  climliminflimsup2  40359
  Copyright terms: Public domain W3C validator