Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climmulf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulf 39258
Description: A version of climmul 14300 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climmulf.1 𝑘𝜑
climmulf.2 𝑘𝐹
climmulf.3 𝑘𝐺
climmulf.4 𝑘𝐻
climmulf.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmulf.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climmulf.7 (𝜑𝐹𝐴)
climmulf.8 (𝜑𝐻𝑋)
climmulf.9 (𝜑𝐺𝐵)
climmulf.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
climmulf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climmulf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climmulf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmulf.5 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climmulf.6 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climmulf.7 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climmulf.8 . 2 (𝜑𝐻𝑋)
5 climmulf.9 . 2 (𝜑𝐺𝐵)
6 climmulf.1 . . . . 5 𝑘𝜑
7 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑘𝑗
87nfel1 2775 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
96, 8nfan 1825 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 climmulf.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
1110, 7nffv 6157 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
1211nfel1 2775 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
139, 12nfim 1822 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
14 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1514anbi2d 739 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
16 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2683 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1815, 17imbi12d 334 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)))
19 climmulf.10 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2013, 18, 19chvar 2261 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
21 climmulf.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
2221, 7nffv 6157 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
2322nfel1 2775 . . . 4 𝑘(𝐺𝑗) ∈ ℂ
249, 23nfim 1822 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
25 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2625eleq1d 2683 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑗) ∈ ℂ))
2715, 26imbi12d 334 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)))
28 climmulf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2924, 27, 28chvar 2261 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
30 climmulf.4 . . . . . 6 𝑘𝐻
3130, 7nffv 6157 . . . . 5 𝑘(𝐻𝑗)
32 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑘 ·
3311, 32, 22nfov 6633 . . . . 5 𝑘((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))
3431, 33nfeq 2772 . . . 4 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))
359, 34nfim 1822 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
36 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
3716, 25oveq12d 6625 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
3836, 37eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗))))
3915, 38imbi12d 334 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘))) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))))
40 climmulf.12 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
4135, 39, 40chvar 2261 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) · (𝐺𝑗)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climmul 14300 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881   · cmul 9888  cz 11324  cuz 11634  cli 14152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156
This theorem is referenced by:  climneg  39264  climdivf  39266  stirlinglem15  39628  etransclem48  39822
  Copyright terms: Public domain W3C validator