Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climrec 39239
Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climrec.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrec.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrec.3 (𝜑𝐺𝐴)
climrec.4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
climrec.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrec.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
climrec.7 (𝜑𝐻𝑊)
Assertion
Ref Expression
climrec (𝜑𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrec
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrec.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climrec.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climrec.3 . . . . 5 (𝜑𝐺𝐴)
4 climcl 14164 . . . . 5 (𝐺𝐴𝐴 ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 climrec.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
76neneqd 2795 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
8 c0ex 9978 . . . . . 6 0 ∈ V
98elsn2 4182 . . . . 5 (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
107, 9sylnibr 319 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
115, 10eldifd 3566 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
12 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
13 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
1413oveq2d 6620 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
15 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
1615eldifad 3567 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ ℂ)
17 eldifsni 4289 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ≠ 0)
1916, 18reccld 10738 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2012, 14, 15, 19fvmptd 6245 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
2120, 19eqeltrd 2698 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) ∈ ℂ)
22 climrec.7 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
23 eqid 2621 . . . . . 6 (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2))
2423reccn2 14261 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
2511, 24sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
26 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
27 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
2827oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
3130, 17reccld 10738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
3226, 28, 29, 31fvmptd 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
3332ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
34 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
35 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → 𝑤 = 𝐴)
3635oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝐴))
375, 6reccld 10738 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
3834, 36, 11, 37fvmptd 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
3938ad4antr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
4033, 39oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
4140fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
4229ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
43 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦)
44 simpllr 798 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)))
4542, 43, 44mp2d 49 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)
4641, 45eqbrtrd 4635 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)
4746exp41 637 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))))
4847ralimdv2 2955 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
4948reximdv 3010 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
5025, 49mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))
51 climrec.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
52 climrec.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
53 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
54 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐺𝑘) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺𝑘)))
5554adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑤 = (𝐺𝑘)) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺𝑘)))
5651eldifad 3567 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
57 eldifsni 4289 . . . . . . 7 ((𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
5851, 57syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
5956, 58reccld 10738 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
6053, 55, 51, 59fvmptd 6245 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺𝑘)) = (1 / (𝐺𝑘)))
6152, 60eqtr4d 2658 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺𝑘)))
621, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61climcn1 14256 . 2 (𝜑𝐻 ⇝ ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))
6362, 38breqtrd 4639 1 (𝜑𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  abscabs 13908  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153
This theorem is referenced by:  climrecf  39245  wallispi  39594
  Copyright terms: Public domain W3C validator