Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climres 14350
 Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climres ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climres
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 resexg 5477 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
32adantl 481 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
4 simpr 476 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
5 simpl 472 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 fvres 6245 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
76adantl 481 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
81, 3, 4, 5, 7climeq 14342 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-clim 14263 This theorem is referenced by:  sumrb  14488  divcnvshft  14631  prodrblem2  14705  iscmet3lem3  23134  leibpilem2  24713  lgamcvg2  24826  divcnvlin  31744  radcnvrat  38830  hashnzfzclim  38838  climresmpt  40209  xlimclim2lem  40383  climxlim2  40390
 Copyright terms: Public domain W3C validator