Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climresmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climresmpt 39295
Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climresmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climresmpt.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐴)
climresmpt.n (𝜑𝑁𝑍)
climresmpt.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climresmpt (𝜑 → (𝐺𝐵𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem climresmpt
StepHypRef Expression
1 climresmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐴)
21reseq1i 5352 . . . . 5 (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) = ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁))
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) = ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)))
4 climresmpt.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
5 climresmpt.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5syl6eleq 2708 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 uzss 11652 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 5syl6sseqr 3631 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
10 resmpt 5408 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴) ↾ (ℤ𝑁)) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴))
12 climresmpt.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴)
1312eqcomi 2630 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑁) ↦ 𝐴) = 𝐺)
153, 11, 143eqtrrd 2660 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)))
1615breq1d 4623 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐵 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵))
17 eluzelz 11641 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
186, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
19 fvex 6158 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
205, 19eqeltri 2694 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
2120mptex 6440 . . . . 5 (𝑥𝑍𝐴) ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴) ∈ V)
231, 22syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
24 climres 14240 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵𝐹𝐵))
2518, 23, 24syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐵𝐹𝐵))
2616, 25bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐺𝐵𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cres 5076  cfv 5847  cz 11321  cuz 11631  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632  df-clim 14153
This theorem is referenced by:  meaiininclem  40007
  Copyright terms: Public domain W3C validator