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Theorem climrlim2 14212
Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrlim2.2 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
climrlim2.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
climrlim2.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrlim2.5 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
climrlim2.6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climrlim2.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑥)
Assertion
Ref Expression
climrlim2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛   𝑥,𝐷   𝑥,𝑛,𝜑   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷)
2 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
54ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗 ∈ ℤ)
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
76sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
87flcld 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
98adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
109ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
11 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗𝑥)
127adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1312ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 flge 12546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗𝑥𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
1513, 5, 14syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (𝑗𝑥𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
1611, 15mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥))
17 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≤ (⌊‘𝑥)))
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗))
19 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
2019ralimi 2947 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)
21 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)))
2221oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷) = (((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷))
2322fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) = (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)))
2423breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘𝑥) → ((abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
2524rspcv 3291 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
2618, 20, 25syl2im 40 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦))
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑥)
30 flge 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
317, 28, 30syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑀𝑥𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
3229, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥))
33 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (⌊‘𝑥)))
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
3534, 3syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (⌊‘𝑥) ∈ 𝑍)
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → 𝐵 = 𝐶)
4039eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (⌊‘𝑥) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
4140rspcv 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⌊‘𝑥) ∈ 𝑍 → (∀𝑛𝑍 𝐵 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ))
4235, 38, 41sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
43 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
4439, 43fvmptg 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝑥) ∈ 𝑍𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4535, 42, 44syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4645adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4746ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) = 𝐶)
4847oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷) = (𝐶𝐷))
4948fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) = (abs‘(𝐶𝐷)))
5049breq1d 4623 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → ((abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘(⌊‘𝑥)) − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))
5126, 50sylibd 229 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑥𝐴𝑗𝑥)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))
5251expr 642 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑗𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
5352com23 86 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
5453ralrimdva 2963 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
55 eluzelre 11642 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
5655, 3eleq2s 2716 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
5756adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℝ)
5854, 57jctild 565 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))))
5958expimpd 628 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦))))
6059reximdv2 3008 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
6160ralimdva 2956 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
6261adantld 483 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
63 climrel 14157 . . . . . 6 Rel ⇝
6463brrelexi 5118 . . . . 5 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
651, 64syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
66 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
673, 27, 65, 66clim2 14169 . . 3 (𝜑 → ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) − 𝐷)) < 𝑦))))
6842ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
69 climcl 14164 . . . . 5 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
701, 69syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
7168, 6, 70rlim2 14161 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑗𝑥 → (abs‘(𝐶𝐷)) < 𝑦)))
7262, 67, 713imtr4d 283 . 2 (𝜑 → ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐷 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷))
731, 72mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  cfl 12531  abscabs 13908  cli 14149  𝑟 crli 14150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fl 12533  df-clim 14153  df-rlim 14154
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  25106
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