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Theorem climsqz 14305
Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climsqz.5 (𝜑𝐺𝑊)
climsqz.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climsqz.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
climsqz.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
climsqz.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climsqz (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climsqz
Dummy variables 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2622 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
6 climadd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐴)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
81, 3, 4, 5, 7climi2 14176 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
91uztrn2 11649 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
10 climsqz.6 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
11 climsqz.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
121, 2, 6, 10climrecl 14248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 climsqz.8 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
1510, 11, 13, 14lesub2dd 10588 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 − (𝐺𝑘)) ≤ (𝐴 − (𝐹𝑘)))
16 climsqz.9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ 𝐴)
1711, 13, 16abssuble0d 14105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) = (𝐴 − (𝐺𝑘)))
1810, 11, 13, 14, 16letrd 10138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐴)
1910, 13, 18abssuble0d 14105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝐴 − (𝐹𝑘)))
2015, 17, 193brtr4d 4645 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2120adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2211adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2312ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 10402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
2625abscld 14109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2710adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2827, 23resubcld 10402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
3029abscld 14109 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
31 rpre 11783 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
3231ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
33 lelttr 10072 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3426, 30, 32, 33syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3521, 34mpand 710 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
369, 35sylan2 491 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3736anassrs 679 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3837ralimdva 2956 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
3938reximdva 3011 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
408, 39mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
4140ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
42 climsqz.5 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
43 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
4412recnd 10012 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4511recnd 10012 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
461, 2, 42, 43, 44, 45clim2c 14170 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4741, 46mpbird 247 1 (𝜑𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  abscabs 13908  cli 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154
This theorem is referenced by:  supcvg  14513  mbfi1fseqlem6  23393  sinccvglem  31271  hashnzfzclim  38000
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