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Theorem climsuse 40361
Description: A subsequence 𝐺 of a converging sequence 𝐹, converges to the same limit. 𝐼 is the strictly increasing and it is used to index the subsequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1 𝑘𝜑
climsuse.3 𝑘𝐹
climsuse.2 𝑘𝐺
climsuse.4 𝑘𝐼
climsuse.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsuse.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsuse.7 (𝜑𝐹𝑋)
climsuse.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climsuse.9 (𝜑𝐹𝐴)
climsuse.10 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
climsuse.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
climsuse.12 (𝜑𝐺𝑌)
climsuse.13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climsuse (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
2 climcl 14449 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 nfv 1992 . . 3 𝑥𝜑
5 simpllr 817 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
6 climsuse.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76ad4antr 771 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
85, 7ifclda 4264 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℤ)
9 nfv 1992 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)
10 nfra1 3079 . . . . . . . 8 𝑖𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)
119, 10nfan 1977 . . . . . . 7 𝑖(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
12 simp-4l 825 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝜑)
13 simpllr 817 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
1412, 13jca 555 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝜑𝑗 ∈ ℤ))
15 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
16 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑀𝑗)
176anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
1817adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
19 eluz 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑗))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑗))
2116, 20mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
22 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝜑)
23 uzid 11914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2422, 6, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2521, 24ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
26 uzss 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
28 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
2927, 28syl6sseqr 3793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ 𝑍)
3029sseld 3743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → 𝑖𝑍))
3114, 15, 30sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖𝑍)
32 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝜑
33 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑖𝑍
3432, 33nfan 1977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
35 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐺
36 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑖
3735, 36nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐺𝑖)
38 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐹
39 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝐼
4039, 36nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐼𝑖)
4138, 40nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹‘(𝐼𝑖))
4237, 41nfeq 2914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖))
4334, 42nfim 1974 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
44 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
4544anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
46 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑖))
47 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → (𝐼𝑘) = (𝐼𝑖))
4847fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝐼𝑘)) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
4946, 48eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)) ↔ (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖))))
5045, 49imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))))
51 climsuse.13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)))
5243, 50, 51chvar 2407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
5328eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
5453biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
5554adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
56 uzss 11920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
58 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
59 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(𝑖 + 1)
6039, 59nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘(𝐼‘(𝑖 + 1))
61 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘
62 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘 +
63 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘1
6440, 62, 63nfov 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘((𝐼𝑖) + 1)
6561, 64nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘(ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))
6660, 65nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))
6734, 66nfim 1974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
68 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
6968fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) = (𝐼‘(𝑖 + 1)))
7047oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐼𝑘) + 1) = ((𝐼𝑖) + 1))
7170fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) = (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
7269, 71eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) ↔ (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))))
7345, 72imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))))
74 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
7567, 73, 74chvar 2407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
7628, 6, 58, 75climsuselem1 40360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖))
7757, 76sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
7877, 28syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)
7978ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑖𝑍 → (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
8079imdistani 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
8133nfci 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑍
8240, 81nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐼𝑖) ∈ 𝑍
8332, 82nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)
8441nfel1 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ
8583, 84nfim 1974 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)
86 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (𝑘𝑍 ↔ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
8786anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐼𝑖) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)))
88 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
8988eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐼𝑖) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
9087, 89imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)))
91 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9240, 85, 90, 91vtoclgf 3404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑖) ∈ 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
9378, 80, 92sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)
9452, 93eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9512, 31, 94syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9612, 31, 52syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
9796oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐺𝑖) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴))
9897fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)))
99 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (𝐹𝑖) = (𝐹))
10099eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹) ∈ ℂ))
10199oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = → ((𝐹𝑖) − 𝐴) = ((𝐹) − 𝐴))
102101fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹) − 𝐴)))
103102breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
104100, 103anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = → (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥)))
105104cbvralv 3310 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
106105biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
107106ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
108 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
1091083ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
110 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
111 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
112 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
113110, 111, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
114 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝜑)
1156zred 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
117 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
118117zred 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
119116adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
120118, 119ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℝ)
121 max1 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
122116, 109, 121syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
123 eluzle 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ≤ 𝑖)
1241233ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ≤ 𝑖)
125116, 120, 113, 122, 124letrd 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀𝑖)
126114, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
1271113ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℤ)
128 eluz 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
129126, 127, 128syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
130125, 129mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
131130, 28syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖𝑍)
132114, 131jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝜑𝑖𝑍))
133 eluzelre 11910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐼𝑖) ∈ ℝ)
134132, 77, 1333syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ ℝ)
135 max2 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
136116, 109, 135syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
137109, 120, 113, 136, 124letrd 10406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗𝑖)
138 eluzle 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖) → 𝑖 ≤ (𝐼𝑖))
139132, 76, 1383syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ≤ (𝐼𝑖))
140109, 113, 134, 137, 139letrd 10406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ≤ (𝐼𝑖))
141 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
142 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖) → (𝐼𝑖) ∈ ℤ)
143132, 76, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ ℤ)
144 eluz 11913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑖) ∈ ℤ) → ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐼𝑖)))
145141, 143, 144syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐼𝑖)))
146140, 145mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗))
14712, 13, 15, 146syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗))
148 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝐼𝑖) → (𝐹) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
149148eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝐼𝑖) → ((𝐹) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
150148oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = (𝐼𝑖) → ((𝐹) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴))
151150fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝐼𝑖) → (abs‘((𝐹) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)))
152151breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝐼𝑖) → ((abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥))
153149, 152anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝐼𝑖) → (((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)))
154153rspccva 3448 . . . . . . . . . . . 12 ((∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥))
155154simprd 482 . . . . . . . . . . 11 ((∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)
156107, 147, 155syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)
15798, 156eqbrtrd 4826 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)
15895, 157jca 555 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
159158ex 449 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → ((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
16011, 159ralrimi 3095 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
161 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑙 = if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) → (ℤ𝑙) = (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
162161raleqdv 3283 . . . . . . 7 (𝑙 = if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
163162rspcev 3449 . . . . . 6 ((if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
1648, 160, 163syl2anc 696 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
165 climsuse.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑋)
166 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℤ) → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑖))
167165, 166clim 14444 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))))
1681, 167mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
169168simprd 482 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
170169r19.21bi 3070 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
171164, 170r19.29a 3216 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
172171ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
1734, 172ralrimi 3095 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
174 climsuse.12 . . 3 (𝜑𝐺𝑌)
175 eqidd 2761 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℤ) → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑖))
176174, 175clim 14444 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))))
1773, 173, 176mpbir2and 995 1 (𝜑𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  wnfc 2889  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  abscabs 14193  cli 14434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-clim 14438
This theorem is referenced by:  sumnnodd  40383  stirlinglem8  40819
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