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Theorem climsuse 40361
 Description: A subsequence 𝐺 of a converging sequence 𝐹, converges to the same limit. 𝐼 is the strictly increasing and it is used to index the subsequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1 𝑘𝜑
climsuse.3 𝑘𝐹
climsuse.2 𝑘𝐺
climsuse.4 𝑘𝐼
climsuse.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsuse.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsuse.7 (𝜑𝐹𝑋)
climsuse.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climsuse.9 (𝜑𝐹𝐴)
climsuse.10 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
climsuse.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
climsuse.12 (𝜑𝐺𝑌)
climsuse.13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climsuse (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
2 climcl 14449 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4 nfv 1992 . . 3 𝑥𝜑
5 simpllr 817 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
6 climsuse.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76ad4antr 771 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℤ)
85, 7ifclda 4264 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℤ)
9 nfv 1992 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)
10 nfra1 3079 . . . . . . . 8 𝑖𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)
119, 10nfan 1977 . . . . . . 7 𝑖(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
12 simp-4l 825 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝜑)
13 simpllr 817 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
1412, 13jca 555 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝜑𝑗 ∈ ℤ))
15 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
16 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑀𝑗)
176anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
1817adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
19 eluz 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑗))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑗))
2116, 20mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
22 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝜑)
23 uzid 11914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2422, 6, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2521, 24ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
26 uzss 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ (ℤ𝑀))
28 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
2927, 28syl6sseqr 3793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) ⊆ 𝑍)
3029sseld 3743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → 𝑖𝑍))
3114, 15, 30sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖𝑍)
32 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝜑
33 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑖𝑍
3432, 33nfan 1977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
35 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐺
36 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑖
3735, 36nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐺𝑖)
38 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝐹
39 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝐼
4039, 36nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐼𝑖)
4138, 40nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹‘(𝐼𝑖))
4237, 41nfeq 2914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖))
4334, 42nfim 1974 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
44 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑍𝑖𝑍))
4544anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
46 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑖))
47 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → (𝐼𝑘) = (𝐼𝑖))
4847fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝐼𝑘)) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
4946, 48eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)) ↔ (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖))))
5045, 49imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))))
51 climsuse.13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑘)))
5243, 50, 51chvar 2407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
5328eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
5453biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
5554adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
56 uzss 11920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
58 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
59 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘(𝑖 + 1)
6039, 59nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘(𝐼‘(𝑖 + 1))
61 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘
62 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘 +
63 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘1
6440, 62, 63nfov 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘((𝐼𝑖) + 1)
6561, 64nffv 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘(ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))
6660, 65nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))
6734, 66nfim 1974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
68 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
6968fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) = (𝐼‘(𝑖 + 1)))
7047oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐼𝑘) + 1) = ((𝐼𝑖) + 1))
7170fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) = (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
7269, 71eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) ↔ (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1))))
7345, 72imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1))) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))))
74 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
7567, 73, 74chvar 2407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼‘(𝑖 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑖) + 1)))
7628, 6, 58, 75climsuselem1 40360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖))
7757, 76sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
7877, 28syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)
7978ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑖𝑍 → (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
8079imdistani 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
8133nfci 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑍
8240, 81nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝐼𝑖) ∈ 𝑍
8332, 82nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)
8441nfel1 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ
8583, 84nfim 1974 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)
86 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (𝑘𝑍 ↔ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍))
8786anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐼𝑖) → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍)))
88 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
8988eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐼𝑖) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
9087, 89imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐼𝑖) → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)))
91 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9240, 85, 90, 91vtoclgf 3404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑖) ∈ 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝐼𝑖) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
9378, 80, 92sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ)
9452, 93eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9512, 31, 94syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9612, 31, 52syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐺𝑖) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
9796oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐺𝑖) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴))
9897fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)))
99 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (𝐹𝑖) = (𝐹))
10099eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((𝐹𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹) ∈ ℂ))
10199oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = → ((𝐹𝑖) − 𝐴) = ((𝐹) − 𝐴))
102101fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = → (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹) − 𝐴)))
103102breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = → ((abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
104100, 103anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = → (((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥)))
105104cbvralv 3310 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
106105biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
107106ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥))
108 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
1091083ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
110 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
111 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
112 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
113110, 111, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℝ)
114 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝜑)
1156zred 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
117 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
118117zred 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ 𝑀𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
119116adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) ∧ ¬ 𝑀𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
120118, 119ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℝ)
121 max1 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
122116, 109, 121syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
123 eluzle 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ≤ 𝑖)
1241233ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ≤ 𝑖)
125116, 120, 113, 122, 124letrd 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀𝑖)
126114, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
1271113ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ ℤ)
128 eluz 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
129126, 127, 128syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
130125, 129mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
131130, 28syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖𝑍)
132114, 131jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝜑𝑖𝑍))
133 eluzelre 11910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐼𝑖) ∈ ℝ)
134132, 77, 1333syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ ℝ)
135 max2 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
136116, 109, 135syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))
137109, 120, 113, 136, 124letrd 10406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗𝑖)
138 eluzle 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖) → 𝑖 ≤ (𝐼𝑖))
139132, 76, 1383syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑖 ≤ (𝐼𝑖))
140109, 113, 134, 137, 139letrd 10406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ≤ (𝐼𝑖))
141 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℤ)
142 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑖) → (𝐼𝑖) ∈ ℤ)
143132, 76, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ ℤ)
144 eluz 11913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑖) ∈ ℤ) → ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐼𝑖)))
145141, 143, 144syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐼𝑖)))
146140, 145mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗))
14712, 13, 15, 146syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗))
148 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝐼𝑖) → (𝐹) = (𝐹‘(𝐼𝑖)))
149148eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝐼𝑖) → ((𝐹) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ))
150148oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = (𝐼𝑖) → ((𝐹) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴))
151150fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = (𝐼𝑖) → (abs‘((𝐹) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)))
152151breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (𝐼𝑖) → ((abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥))
153149, 152anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝐼𝑖) → (((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)))
154153rspccva 3448 . . . . . . . . . . . 12 ((∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹‘(𝐼𝑖)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥))
155154simprd 482 . . . . . . . . . . 11 ((∀ ∈ (ℤ𝑗)((𝐹) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ (𝐼𝑖) ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)
156107, 147, 155syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐹‘(𝐼𝑖)) − 𝐴)) < 𝑥)
15798, 156eqbrtrd 4826 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)
15895, 157jca 555 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))) → ((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
159158ex 449 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)) → ((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
16011, 159ralrimi 3095 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
161 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑙 = if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) → (ℤ𝑙) = (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀)))
162161raleqdv 3283 . . . . . . 7 (𝑙 = if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
163162rspcev 3449 . . . . . 6 ((if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘if(𝑀𝑗, 𝑗, 𝑀))((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
1648, 160, 163syl2anc 696 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
165 climsuse.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑋)
166 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℤ) → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑖))
167165, 166clim 14444 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))))
1681, 167mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
169168simprd 482 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
170169r19.21bi 3070 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
171164, 170r19.29a 3216 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
172171ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥)))
1734, 172ralrimi 3095 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))
174 climsuse.12 . . 3 (𝜑𝐺𝑌)
175 eqidd 2761 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℤ) → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑖))
176174, 175clim 14444 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑙 ∈ ℤ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑙)((𝐺𝑖) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑖) − 𝐴)) < 𝑥))))
1773, 173, 176mpbir2and 995 1 (𝜑𝐺𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2139  Ⅎwnfc 2889  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899  ℝ+crp 12045  abscabs 14193   ⇝ cli 14434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-clim 14438 This theorem is referenced by:  sumnnodd  40383  stirlinglem8  40819
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