Theorem climsuselem1 41881

Description: The subsequence index 𝐼 has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always greater than or equal to the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsuselem1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsuselem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsuselem1.3	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
climsuselem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
climsuselem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem climsuselem1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsuselem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2904	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		simpl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝜑)
6		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑀))
7		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	eleq12d 2907	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
11		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑘))
12	10, 11	eleq12d 2907	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
13	12	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
14		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘(𝑘 + 1)))
15		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
16	14, 15	eleq12d 2907	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝐾))
19		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝐾))
20	18, 19	eleq12d 2907	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
21	20	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
22		climsuselem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
23	22, 1	eleqtrdi 2923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
26		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
28	25, 27	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
29		eluzelz 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
30	29	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
32	31	zred 12081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33		eluzelre 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant3 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
35		1red 10636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
36	34, 35	readdcld 10664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ∈ ℝ)
37	1	eqimss2i 4025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍)
39	38	sseld 3965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍))
40	39	imdistani 571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍))
41		climsuselem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
43	42	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
44		eluzelz 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
46	45	zred 12081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
47	30	zred 12081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
48		eluzle 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
49	48	3ad2ant3 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
50	47, 34, 35, 49	leadd1dd 11248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ ((𝐼‘𝑘) + 1))
51		eluzle 12250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
52	43, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
53	32, 36, 46, 50, 52	letrd 10791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
54		eluz 12251	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
55	31, 45, 54	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
56	53, 55	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
57	25, 26, 28, 56	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
58	57	exp31 422	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
59	9, 13, 17, 21, 24, 58	uzind4 12300	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
60	4, 5, 59	sylc 65	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   ≤ cle 10670  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238

This theorem is referenced by:  climsuse  41882