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Theorem climxrrelem 41906
Description: If a seqence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxrrelem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxrrelem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxrrelem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxrrelem.c (𝜑𝐹𝐴)
climxrrelem.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
climxrrelem.p ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
climxrrelem.n ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climxrrelem (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem climxrrelem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1906 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfv 1906 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
3 nfra1 3216 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
42, 3nfan 1891 . . . . 5 𝑘(𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
51, 4nfan 1891 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
6 climxrrelem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
76uztrn2 12250 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
87adantll 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
9 climxrrelem.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
109fdmd 6516 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
1110ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
128, 11eleqtrrd 2913 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
1312adantlrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
14 simpll 763 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
158adantlrr 717 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
16 rspa 3203 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
1716adantll 710 . . . . . . 7 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
1817adantll 710 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
199ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
20193adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
21 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝜑)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (𝐹𝑘) = -∞)
23 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2422, 23eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → -∞ ∈ ℂ)
2524adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → -∞ ∈ ℂ)
26 climxrrelem.n . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
2721, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
2827adantlrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
29 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = -∞ → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(-∞ − 𝐴)))
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(-∞ − 𝐴)))
31 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
3230, 31eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
3332adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
3433adantlrl 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷)
35 climxrrelem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹𝐴)
366fvexi 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑍 ∈ V)
389, 37fexd 41256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 ∈ V)
39 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4038, 39clim 14839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
4135, 40mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
4241simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
4425, 43subcld 10985 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (-∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
4544abscld 14784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
4645adantlrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → (abs‘(-∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
47 climxrrelem.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
4847rpred 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
4948ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
5046, 49ltnled 10775 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → ((abs‘(-∞ − 𝐴)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴))))
5134, 50mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = -∞) → ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(-∞ − 𝐴)))
5228, 51pm2.65da 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = -∞)
53523adant2 1123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = -∞)
5453neqned 3020 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ≠ -∞)
55 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝜑)
56 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (𝐹𝑘) = +∞)
57 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5856, 57eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → +∞ ∈ ℂ)
5958adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → +∞ ∈ ℂ)
60 climxrrelem.p . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ℂ) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6155, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6261adantlrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
63 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = +∞ → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(+∞ − 𝐴)))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(+∞ − 𝐴)))
65 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)
6664, 65eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷 ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6766adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6867adantlrl 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷)
6942ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
7059, 69subcld 10985 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (+∞ − 𝐴) ∈ ℂ)
7170abscld 14784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
7271adantlrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → (abs‘(+∞ − 𝐴)) ∈ ℝ)
7348ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
7472, 73ltnled 10775 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → ((abs‘(+∞ − 𝐴)) < 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴))))
7568, 74mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) ∧ (𝐹𝑘) = +∞) → ¬ 𝐷 ≤ (abs‘(+∞ − 𝐴)))
7662, 75pm2.65da 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = +∞)
77763adant2 1123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → ¬ (𝐹𝑘) = +∞)
7877neqned 3020 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ≠ +∞)
7920, 54, 78xrred 41509 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8014, 15, 18, 79syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8113, 80jca 512 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
825, 81ralrimia 41274 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
839ffund 6511 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
84 ffvresb 6880 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8583, 84syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8685adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
8782, 86mpbird 258 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
88 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
8988anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9089rexralbidv 3298 . . . 4 (𝑥 = 𝐷 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9141simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
9290, 91, 47rspcdva 3622 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
93 climxrrelem.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
946rexuz3 14696 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9593, 94syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷)))
9692, 95mpbird 258 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝐷))
9787, 96reximddv 3272 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cres 5550  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  abscabs 14581  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  climxrre  41907
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