Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmneg 22821
 Description: Negation in the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
clmneg ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → -𝐴 = ((invg𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem clmneg
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 clmsub.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2clmsca 22805 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
43fveq2d 6162 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → (invg𝐹) = (invg‘(ℂflds 𝐾)))
54adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → (invg𝐹) = (invg‘(ℂflds 𝐾)))
65fveq1d 6160 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → ((invg𝐹)‘𝐴) = ((invg‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴))
71, 2clmsubrg 22806 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
8 subrgsubg 18726 . . . 4 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
97, 8syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10 eqid 2621 . . . 4 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
11 eqid 2621 . . . 4 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
12 eqid 2621 . . . 4 (invg‘(ℂflds 𝐾)) = (invg‘(ℂflds 𝐾))
1310, 11, 12subginv 17541 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴))
149, 13sylan 488 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴))
151, 2clmsscn 22819 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
1615sselda 3588 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 cnfldneg 19712 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
196, 14, 183eqtr2rd 2662 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → -𝐴 = ((invg𝐹)‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  -cneg 10227  Basecbs 15800   ↾s cress 15801  Scalarcsca 15884  invgcminusg 17363  SubGrpcsubg 17528  SubRingcsubrg 18716  ℂfldccnfld 19686  ℂModcclm 22802 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-subg 17531  df-cmn 18135  df-mgp 18430  df-ring 18489  df-cring 18490  df-subrg 18718  df-cnfld 19687  df-clm 22803 This theorem is referenced by:  clmvneg1  22839  clmvsneg  22840  clmvsubval  22849  ncvspi  22896
 Copyright terms: Public domain W3C validator