MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmnegneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmnegneg 23100
Description: Double negative of a vector. (Contributed by NM, 6-Aug-2007.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmpm1dir.a + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmnegneg ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → (-1 · (-1 · 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem clmnegneg
StepHypRef Expression
1 neg1mulneg1e1 11433 . . 3 (-1 · -1) = 1
21oveq1i 6819 . 2 ((-1 · -1) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
3 simpl 474 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
4 eqid 2756 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2756 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
64, 5clmneg1 23078 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
76adantr 472 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8 simpr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
9 clmpm1dir.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 clmpm1dir.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
119, 4, 10, 5clmvsass 23085 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴𝑉)) → ((-1 · -1) · 𝐴) = (-1 · (-1 · 𝐴)))
123, 7, 7, 8, 11syl13anc 1479 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → ((-1 · -1) · 𝐴) = (-1 · (-1 · 𝐴)))
139, 10clmvs1 23089 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
142, 12, 133eqtr3a 2814 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉) → (-1 · (-1 · 𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  cfv 6045  (class class class)co 6809  1c1 10125   · cmul 10129  -cneg 10455  Basecbs 16055  +gcplusg 16139  Scalarcsca 16142   ·𝑠 cvsca 16143  ℂModcclm 23058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-seq 12992  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-0g 16300  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-mulg 17738  df-subg 17788  df-cmn 18391  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-cring 18746  df-subrg 18976  df-lmod 19063  df-cnfld 19945  df-clm 23059
This theorem is referenced by:  clmnegsubdi2  23101
  Copyright terms: Public domain W3C validator