MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmsub4 22900
Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 5-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmpm1dir.a + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmsub4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Proof of Theorem clmsub4
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42, 3clmneg1 22876 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐶𝑉)
76adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐶𝑉)
8 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐷𝑉)
98adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐷𝑉)
10 clmpm1dir.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 clmpm1dir.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
12 clmpm1dir.a . . . . . 6 + = (+g𝑊)
1310, 2, 11, 3, 12clmvsdi 22886 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
141, 5, 7, 9, 13syl13anc 1327 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
15143adant2 1079 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1615oveq2d 6663 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
17 clmabl 22863 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
18 ablcmn 18193 . . . . 5 (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ CMnd)
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ CMnd)
20193ad2ant1 1081 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ CMnd)
21 simp2 1061 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
22 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
234adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → 𝐶𝑉)
2510, 2, 11, 3clmvscl 22882 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1325 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
27 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
284adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → 𝐷𝑉)
3010, 2, 11, 3clmvscl 22882 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐷𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
3127, 28, 29, 30syl3anc 1325 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
3226, 31anim12dan 882 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
33323adant2 1079 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
3410, 12cmn4 18206 . . 3 ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
3520, 21, 33, 34syl3anc 1325 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
3616, 35eqtrd 2655 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  cfv 5886  (class class class)co 6647  1c1 9934  -cneg 10264  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  Scalarcsca 15938   ·𝑠 cvsca 15939  CMndccmn 18187  Abelcabl 18188  ℂModcclm 22856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-seq 12797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-mulg 17535  df-subg 17585  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-cring 18544  df-subrg 18772  df-lmod 18859  df-cnfld 19741  df-clm 22857
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator