MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cls0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cls0 20878
Description: The closure of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cls0 (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem cls0
StepHypRef Expression
1 0cld 20836 . 2 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
2 0ss 3970 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
3 eqid 2621 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43iscld3 20862 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅))
52, 4mpan2 707 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅))
61, 5mpbid 222 1 (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1482  wcel 1989  wss 3572  c0 3913   cuni 4434  cfv 5886  Topctop 20692  Clsdccld 20814  clsccl 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-top 20693  df-cld 20817  df-cls 20819
This theorem is referenced by:  dfac14lem  21414  flimclslem  21782
  Copyright terms: Public domain W3C validator