MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsndisj 20631
Description: Any open set containing a point that belongs to the closure of a subset intersects the subset. One direction of Theorem 6.5(a) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
clsndisj (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑈𝐽𝑃𝑈)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem clsndisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝐽 ∈ Top)
2 simp2 1054 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑋)
3 clscld.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
43clsss3 20615 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
54sseld 3566 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑃𝑋))
653impia 1252 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑃𝑋)
7 simp3 1055 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
83elcls 20629 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) → (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅)))
98biimpa 499 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃𝑋) ∧ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
101, 2, 6, 7, 9syl31anc 1320 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅))
11 eleq2 2676 . . . . 5 (𝑥 = 𝑈 → (𝑃𝑥𝑃𝑈))
12 ineq1 3768 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥𝑆) = (𝑈𝑆))
1312neeq1d 2840 . . . . 5 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝑆) ≠ ∅))
1411, 13imbi12d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ↔ (𝑃𝑈 → (𝑈𝑆) ≠ ∅)))
1514rspccv 3278 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) → (𝑈𝐽 → (𝑃𝑈 → (𝑈𝑆) ≠ ∅)))
1615imp32 447 . 2 ((∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → (𝑥𝑆) ≠ ∅) ∧ (𝑈𝐽𝑃𝑈)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)
1710, 16sylan 486 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑈𝐽𝑃𝑈)) → (𝑈𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  cin 3538  wss 3539  c0 3873   cuni 4366  cfv 5790  Topctop 20459  clsccl 20574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-top 20463  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577
This theorem is referenced by:  neindisj  20673  clscon  20985  txcls  21159  ptclsg  21170  flimsncls  21542  hauspwpwf1  21543  met2ndci  22078  metdseq0  22396  heibor1lem  32581
  Copyright terms: Public domain W3C validator