MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clsss3 20615
Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
clsss3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21clscld 20603 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
31cldss 20585 . 2 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
42, 3syl 17 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539   cuni 4366  cfv 5790  Topctop 20459  Clsdccld 20572  clsccl 20574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-top 20463  df-cld 20575  df-cls 20577
This theorem is referenced by:  clsidm  20623  elcls2  20630  clsndisj  20631  ntrcls0  20632  neindisj  20673  lpval  20695  lpss  20698  clslp  20704  cnclsi  20828  cncls  20830  isnrm2  20914  lpcls  20920  perfcls  20921  regsep2  20932  clscon  20985  concompcld  20989  2ndcsep  21014  1stcelcls  21016  hausllycmp  21049  txcls  21159  ptclsg  21170  imasncls  21247  kqnrmlem1  21298  reghmph  21348  nrmhmph  21349  flimclslem  21540  flimsncls  21542  hauspwpwf1  21543  fclsopn  21570  fclscmpi  21585  cnextfun  21620  clssubg  21664  clsnsg  21665  snclseqg  21671  utop3cls  21807  qdensere  22315  clsocv  22775  relcmpcmet  22840  cncmet  22844  kur14lem3  30250  topbnd  31295  clsun  31299  opnregcld  31301  cldregopn  31302  heibor1lem  32574  qndenserrn  38992
  Copyright terms: Public domain W3C validator