Theorem clsss3 21670

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clscld 21658	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
3	1	cldss 21640	. 2 ⊢ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  ∪ cuni 4841  ‘cfv 6358  Topctop 21504  Clsdccld 21627  clsccl 21629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-top 21505  df-cld 21630  df-cls 21632

This theorem is referenced by:  clsidm  21678  elcls2  21685  clsndisj  21686  ntrcls0  21687  neindisj  21728  lpval  21750  lpss  21753  clslp  21759  cnclsi  21883  cncls  21885  isnrm2  21969  lpcls  21975  perfcls  21976  regsep2  21987  clsconn  22041  conncompcld  22045  2ndcsep  22070  1stcelcls  22072  hausllycmp  22105  txcls  22215  ptclsg  22226  imasncls  22303  kqnrmlem1  22354  reghmph  22404  nrmhmph  22405  flimclslem  22595  flimsncls  22597  hauspwpwf1  22598  fclsopn  22625  fclscmpi  22640  cnextfun  22675  clssubg  22720  clsnsg  22721  snclseqg  22727  utop3cls  22863  qdensere  23381  clsocv  23856  relcmpcmet  23924  cncmet  23928  kur14lem3  32459  topbnd  33676  clsun  33680  opnregcld  33682  cldregopn  33683  heibor1lem  35091  qndenserrn  42591