MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlk 26787
Description: A closed walk as word of length at least 2 corresponds to a closed walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlk.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
21uspgrf1oedg 25978 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3 f1of1 6098 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
5 clwlkclwwlklem3 26786 . . . 4 ((𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
64, 5syl3an1 1356 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7 lencl 13271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 ige2m1fz 12379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
97, 8sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃)))
10 swrd0len 13368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0...(#‘𝑃))) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
119, 10syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = ((#‘𝑃) − 1))
127nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
13 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
1514subid1d 10333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
1615eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
1811, 17eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
1918oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
2019oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
2111oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
2221oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)))
2322eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))))
24 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25 wrdlenge2n0 13288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27 nn0z 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
28 peano2zm 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32 elfzom1elfzo 12484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
3331, 32sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
34 swrdtrcfv 13387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
3524, 26, 33, 34syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
367adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
37 elfzom1elp1fzo 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
3829, 37sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
3936, 38sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
40 swrdtrcfv 13387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4124, 26, 39, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4235, 41preq12d 4251 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
4342eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4443ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((#‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4523, 44sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4645imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4720, 46raleqbidva 3146 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48 swrdtrcfvl 13396 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
49 swrdtrcfv0 13388 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0) = (𝑃‘0))
5048, 49preq12d 4251 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
5150eleq1d 2683 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
5247, 51anbi12d 746 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5352bicomd 213 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54533adant1 1077 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55 swrdcl 13365 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
56553ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
57563biant1d 1438 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5854, 57bitrd 268 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5958anbi2d 739 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
606, 59bitrd 268 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61 uspgrupgr 25981 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph )
62 clwlkclwwlk.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6362, 1isclwlkupgr 26560 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))))
64 3an4anass 1288 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6563, 64syl6bbr 278 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6661, 65syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6766adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6867exbidv 1847 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
69683adant3 1079 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
70 eqid 2621 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7162, 70isclwwlks 26764 . . . . 5 ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
72 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
73 nn0ge2m1nn 11312 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
747, 73sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
75 nn0re 11253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
7675lem1d 10909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃))
7776a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
787, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
7978imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃))
8072, 74, 793jca 1240 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
81803adant1 1077 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)))
82 swrdn0 13376 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
8483biantrud 528 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)))
8584bicomd 213 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ↔ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
86853anbi1d 1400 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
8771, 86syl5bb 272 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
88 edgval 25858 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
891eqcomi 2630 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝐺) = 𝐸
9089rneqi 5317 . . . . . . . . 9 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
9188, 90syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐸)
9291eleq2d 2684 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USPGraph → ({((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9392ralbidv 2981 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9491eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → ({( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
9593, 943anbi23d 1399 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
96953ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
9787, 96bitrd 268 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
9897anbi2d 739 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
9960, 69, 983bitr4d 300 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((#‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  c0 3896  {cpr 4155  cop 4159   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080  wf 5848  1-1wf1 5849  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  cle 10027  cmin 10218  cn 10972  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238   lastS clsw 13239   substr csubstr 13242  Vtxcvtx 25791  iEdgciedg 25792  Edgcedg 25856   UPGraph cupgr 25888   USPGraph cuspgr 25953  ClWalkscclwlks 26552  ClWWalkscclwwlks 26759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-lsw 13247  df-substr 13250  df-edg 25857  df-uhgr 25866  df-upgr 25890  df-uspgr 25955  df-wlks 26382  df-clwlks 26553  df-clwwlks 26761
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk2  26788
  Copyright terms: Public domain W3C validator