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Theorem clwlkclwwlklem2 26768
Description: Lemma 2 for clwlkclwwlk 26770. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝐹

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2
StepHypRef Expression
1 f1fn 6059 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸 Fn dom 𝐸)
2 dffn3 6011 . . . 4 (𝐸 Fn dom 𝐸𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
31, 2sylib 208 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4 lencl 13263 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 ffn 6002 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(#‘𝐹)))
6 fnfz0hash 13168 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃 Fn (0...(#‘𝐹))) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
74, 5, 6syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
8 ffz0iswrd 13271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃 ∈ Word 𝑉)
9 lsw 13290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
109ad6antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
11 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
1211fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
1312ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
14 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0))
15 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
16 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1715, 16pncand 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((#‘𝐹) + 1) − 1) = (#‘𝐹))
1817eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
1918ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
2019fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
2120eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2221biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2314, 22syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2423adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2524imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
2610, 13, 253eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0))
27 nn0z 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
28 peano2zm 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
30 nn0re 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
3130lem1d 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) − 1) ≤ (#‘𝐹))
32 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)) ↔ (((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐹) − 1) ≤ (#‘𝐹)))
3329, 27, 31, 32syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)))
3433ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)))
35 fzoss2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
36 ssralv 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
40 wrdf 13249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
42 fzossrbm1 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4327, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4544sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
4641, 45ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
4746exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4840, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
5049imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
5150ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
5251imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
5339, 52ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸)
54 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5554biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5655eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸))
5753, 56syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5857ralimdva 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5937, 58syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6160impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
62 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
64 2re 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
66 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
6765, 66, 30lesubaddd 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
68 2m1e1 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 − 1) = 1
6968breq1i 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) ↔ 1 ≤ (#‘𝐹))
70 elnnnn0c 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)))
7170simplbi2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7269, 71syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7367, 72sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7663, 75sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7776imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
79 lbfzo0 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
8078, 79sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
81 fzoend 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
83 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
8483fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
85 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((#‘𝐹) − 1)))
86 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝐹) − 1) + 1))
8786fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)))
8885, 87preq12d 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))})
8984, 88eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((#‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9182, 90rspcdv 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9215, 16npcand 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
9392ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
9493fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
9594preq2d 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))})
9695eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))}))
9740ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
9873com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
9962, 98syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
10099com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
101100adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
102101imp31 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
103102, 79sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
104103, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
10597, 104ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
10738, 106ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
108 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
109108biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
110109eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
111107, 110syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
11296, 111sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
11391, 112syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115114impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
116 preq2 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))})
117116eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
119118adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
120115, 119mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
12126, 61, 1203jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
122121exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
123122exp41 637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1248, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
125124com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1264, 125mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
127126imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
1287, 127mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
129128expcom 451 . . . . . . . 8 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
130129com14 96 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
131130imp 445 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
132131com13 88 . . . . 5 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
133132imp 445 . . . 4 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
134133com12 32 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1353, 134sylan 488 . 2 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1361353imp 1254 1 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3555  {cpr 4150   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  ran crn 5075   Fn wfn 5842  wf 5843  1-1wf1 5844  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem3  26769  clwlksfclwwlk  26828
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