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Theorem clwlkclwwlklem2a 26779
Description: Lemma for clwlkclwwlklem2 26781. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐸   𝑖,𝐹   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑥   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2 f1f1orn 6110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
323ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
43adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
54ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
6 elfzo0 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)))
7 lencl 13270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
98adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
10 elnn0z 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
11 0red 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
12 zre 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 nn0re 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
15 2re 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1714, 16resubcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19 lelttr 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
2011, 13, 18, 19syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
21 nn0z 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
22 2z 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
2421, 23zsubcld 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
2524anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
26 elnnz 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
2725, 26sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
28 nn0cn 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
29 peano2cnm 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
3130subid1d 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
3231oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
33 1cnd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3428, 33, 33subsub4d 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
35 1p1e2 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (1 + 1) = 2
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
3736oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − (1 + 1)) = ((#‘𝑃) − 2))
3834, 37eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
3932, 38eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
4039eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
4227, 41mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
4342ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (0 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4520, 44syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4645exp4b 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℤ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑥 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
4746com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑥 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
4847imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
4910, 48sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
5049imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5352impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
54 df-2 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 = (1 + 1)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1))
5655oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
5731eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 0))
5857oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
5956, 34, 583eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑃) − 2) = ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
6160breq2d 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6261biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6463impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
65 elfzo0 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
669, 53, 64, 65syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6766exp32 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (#‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
6867a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (#‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
6968com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7069ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
7170com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
7271imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
73723adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7473com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
757, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7675imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
77763adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
786, 77syl7bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
7978com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
8079imp31 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
81 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑥))
82 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 + 1) = (𝑥 + 1))
8382fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
8481, 83preq12d 4251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
8584eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8780, 86rspcdv 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8887ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8988com13 88 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
9089ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
9190impcom 446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9291expdimp 453 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9392impcom 446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
94 f1ocnvdm 6500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
955, 93, 94syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
961, 95jca 554 . . . . . . . . 9 ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸))
9796orcd 407 . . . . . . . 8 ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
98 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
994ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
100 nn0z 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
101 peano2zm 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
10221, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
103100, 102anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ))
104 zltlem1 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
10638adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
107106breq2d 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
108107biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
109105, 108sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
110109impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
111110imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
112 nn0re 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
114113, 17anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ))
115 lenlt 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥))
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥))
117111, 116mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)
118117anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
119114ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
121 lttri3 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((#‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
123118, 122mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)
124123exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
125124com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
1261253adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
1276, 126sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
128127impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
1297, 128syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
1301293ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥))
131130imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((#‘𝑃) − 2) = 𝑥)
132131fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝑃𝑥))
133132preq1d 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})
134133eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
135134biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
136135exp32 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
137136com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
138137com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
139138adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
140139adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
141140com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
142141imp31 448 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
143142impcom 446 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
144 f1ocnvdm 6500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
14599, 143, 144syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
14698, 145jca 554 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))
147146olcd 408 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
14897, 147pm2.61ian 830 . . . . . . 7 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
149 ifel 4106 . . . . . . 7 (if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸 ↔ ((𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
150148, 149sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸)
151 clwlkclwwlklem2.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
152150, 151fmptd 6346 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
153 iswrdi 13255 . . . . 5 (𝐹:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
154152, 153syl 17 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
155 wrdf 13256 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉)
156155adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉)
157151clwlkclwwlklem2a2 26774 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
158 fzoval 12419 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
1597, 21, 1583syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
160 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) − 1) = (#‘𝐹) → (0...((#‘𝑃) − 1)) = (0...(#‘𝐹)))
161160eqcoms 2629 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (0...((#‘𝑃) − 1)) = (0...(#‘𝐹)))
162159, 161sylan9eq 2675 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...(#‘𝐹)))
163157, 162syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...(#‘𝐹)))
164163feq2d 5993 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶𝑉𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
165156, 164mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
1661653adant1 1077 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
167166adantr 481 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
168 clwlkclwwlklem2a1 26773 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1691683adant1 1077 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
170169imp 445 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
1711573adant1 1077 . . . . . . . 8 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
172171adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
173151clwlkclwwlklem2a4 26778 . . . . . . . . . 10 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
174173impl 649 . . . . . . . . 9 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
175174ralimdva 2957 . . . . . . . 8 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
176 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
177176raleqdv 3136 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
178177imbi2d 330 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
179175, 178syl5ibr 236 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
180172, 179mpcom 38 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
181180adantrr 752 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
182170, 181mpd 15 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
183154, 167, 1823jca 1240 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
184151clwlkclwwlklem2a3 26775 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
1851843adant1 1077 . . . . . . . . 9 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
186185eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
187186eqeq2d 2631 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃‘0) = ( lastS ‘𝑃) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
188187biimpcd 239 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = ( lastS ‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
189188eqcoms 2629 . . . . 5 (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
190189adantr 481 . . . 4 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
191190impcom 446 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
192183, 191jca 554 . 2 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
193192ex 450 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ifcif 4063  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  wf 5848  1-1wf1 5849  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217  cn 10971  2c2 11021  0cn0 11243  cz 11328  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  #chash 13064  Word cword 13237   lastS clsw 13238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
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This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem1  26780
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