MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlklem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlklem2a 27703
Description: Lemma for clwlkclwwlklem2 27705. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐸   𝑖,𝐹   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑥   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
2 f1f1orn 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
323ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
43adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
54ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
6 elfzo0 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)))
7 lencl 13871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
98adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
10 elnn0z 11982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
11 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
12 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
15 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1714, 16resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19 lelttr 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
2011, 13, 18, 19syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
21 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
22 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
2421, 23zsubcld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
2524anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
26 elnnz 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
2725, 26sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
28 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
29 peano2cnm 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
3130subid1d 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
3231oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
33 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3428, 33, 33subsub4d 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
35 1p1e2 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (1 + 1) = 2
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
3736oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − (1 + 1)) = ((♯‘𝑃) − 2))
3834, 37eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
3932, 38eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
4039eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
4227, 41mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
4342ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (0 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4520, 44syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑥𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
4645exp4b 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑥 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
4746com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑥 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))))
4847imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
4910, 48sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)))
5049imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ))
5352impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ)
54 df-2 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 = (1 + 1)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1))
5655oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
5731eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
5857oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
5956, 34, 583eqtr2d 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑃) − 2) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
6160breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6261biimpcd 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6463impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
65 elfzo0 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
669, 53, 64, 65syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
6766exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
6867a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
6968com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7069ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
7170com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))))
7271imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
73723adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7473com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
757, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))))))
7675imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
77763adant1 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
786, 77syl7bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
7978com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))))
8079imp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
81 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑥))
82 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑥 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑥 + 1)))
8381, 82preq12d 4669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑥 → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
8483eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑥 → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) ∧ 𝑖 = 𝑥) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8680, 85rspcdv 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8786ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8887com13 88 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8988ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
9089impcom 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9190expdimp 453 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9291impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
93 f1ocnvdm 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
945, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸)
951, 94jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸))
9695orcd 869 . . . . . . . 8 ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
97 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))
984ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
99 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
100 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
10121, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
10299, 101anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ))
103 zltlem1 12023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
10538adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
106105breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
107106biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
108104, 107sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
109108impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
110109imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
111 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
113112, 17anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ))
114 lenlt 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥))
116110, 115mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → ¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥)
117116anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)))
118113ancomd 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
119118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
120 lttri3 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥 ↔ (¬ ((♯‘𝑃) − 2) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2))))
122117, 121mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)
123122exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
124123com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
1251243adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
1266, 125sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)))
127126impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
1287, 127syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
1291283ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥))
130129imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((♯‘𝑃) − 2) = 𝑥)
131130fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)) = (𝑃𝑥))
132131preq1d 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})
133132eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
134133biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
135134exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
136135com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
137136com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
138137adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
139138adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
140139com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
141140imp31 418 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
142141impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
143 f1ocnvdm 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
14498, 142, 143syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)
14597, 144jca 512 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸))
146145olcd 870 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
14796, 146pm2.61ian 808 . . . . . . 7 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
148 ifel 4506 . . . . . . 7 (if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸 ↔ ((𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ dom 𝐸) ∨ (¬ 𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ dom 𝐸)))
149147, 148sylibr 235 . . . . . 6 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ dom 𝐸)
150 clwlkclwwlklem2.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
151149, 150fmptd 6870 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸)
152 iswrdi 13853 . . . . 5 (𝐹:(0..^((♯‘𝑃) − 1))⟶dom 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
153151, 152syl 17 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
154 wrdf 13854 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
155154adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉)
156150clwlkclwwlklem2a2 27698 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
157 fzoval 13027 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
1587, 21, 1573syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝑃) − 1)))
159 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) − 1) = (♯‘𝐹) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
160159eqcoms 2826 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0...((♯‘𝑃) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
161158, 160sylan9eq 2873 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
162156, 161syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
163162feq2d 6493 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶𝑉𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
164155, 163mpbid 233 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
1651643adant1 1122 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
166165adantr 481 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
167 clwlkclwwlklem2a1 27697 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1681673adant1 1122 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
169168imp 407 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
1701563adant1 1122 . . . . . . . 8 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
171170adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
172150clwlkclwwlklem2a4 27702 . . . . . . . . . 10 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
173172impl 456 . . . . . . . . 9 ((((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
174173ralimdva 3174 . . . . . . . 8 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
175 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
176175raleqdv 3413 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
177176imbi2d 342 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
178174, 177syl5ibr 247 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1) → (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
179171, 178mpcom 38 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
180179adantrr 713 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
181169, 180mpd 15 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
182153, 166, 1813jca 1120 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
183150clwlkclwwlklem2a3 27699 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
1841833adant1 1122 . . . . . . . . 9 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
185184eqcomd 2824 . . . . . . . 8 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
186185eqeq2d 2829 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃‘0) = (lastS‘𝑃) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
187186biimpcd 250 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = (lastS‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
188187eqcoms 2826 . . . . 5 ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
189188adantr 481 . . . 4 (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
190189impcom 408 . . 3 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
191182, 190jca 512 . 2 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
192191ex 413 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  ifcif 4463  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  wf 6344  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  lastSclsw 13902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem1  27704
  Copyright terms: Public domain W3C validator