clwlkclwwlklem2a1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a1 26760

Description: Lemma 1 for clwlkclwwlklem2a 26766. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a1	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐸 𝑃,𝑖 Allowed substitution hint: 𝑉(𝑖)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
2		nn0cn 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
3		peano2cnm 10291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
4	3	subid1d 10325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
5	4	oveq1d 6619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
6		sub1m1 11228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
7	5, 6	eqtrd 2655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
8	1, 2, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
10	9	oveq2d 6620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((#‘𝑃) − 2)))
11	10	raleqdv 3133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
12	11	biimpcd 239	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
15	14	impcom 446	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
16		lsw 13290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
17		2m1e1 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 − 1) = 1
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 − 1) = 1)
19	18	eqcomd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
20	19	oveq2d 6620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
21	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
22		2cnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
23		1cnd 10000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	subsubd 10364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
25	20, 24	eqtrd 2655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
26	25	fveq2d 6152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
27	16, 26	eqtrd 2655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
30		eqeq1 2625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
32	29, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
33	32	preq2d 4245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
34	33	eleq1d 2683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
35	34	biimpd 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
36	35	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
37	36	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
38	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
39	38	impcom 446	. . . . 5 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
40	39	impcom 446	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
41		ovex 6632	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) − 2) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ V)
43		fveq2 6148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
44		oveq1 6611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
45	44	fveq2d 6152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
46	43, 45	preq12d 4246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
47	46	eleq1d 2683	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
48	47	ralunsn 4390	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ V → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
49	42, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
50	15, 40, 49	mpbir2and 956	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
51		1e2m1 11080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
53	52	oveq2d 6620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
54	53, 24	eqtrd 2655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
55	54	oveq2d 6620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
56	55	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
57		nn0re 11245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
58		2re 11034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
60	57, 59	subge0d 10561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
61	60	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
62		nn0z 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
63		2z 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
65	62, 64	zsubcld 11431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
66	61, 65	jctild 565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
67	1, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
68	67	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
69		elnn0z 11334	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
70	68, 69	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀)
71		elnn0uz 11669	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
72	70, 71	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0))
73		fzosplitsn 12517	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
74	72, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
75	56, 74	eqtrd 2655	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
76	75	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
77	76	raleqdv 3133	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
78	50, 77	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
79	78	ex 450	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 = wceq 1480 ∈ wcel 1987 ∀wral 2907 Vcvv 3186 ∪ cun 3553 {csn 4148 {cpr 4150 class class class wbr 4613 ran crn 5075 ‘cfv 5847 (class class class)co 6604 ℂcc 9878 ℝcr 9879 0cc0 9880 1c1 9881 + caddc 9883 ≤ cle 10019 − cmin 10210 2c2 11014 ℕ₀cn0 11236 ℤcz 11321 ℤ_≥cuz 11631 ..^cfzo 12406 #chash 13057 Word cword 13230 lastS clsw 13231

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1719 ax-4 1734 ax-5 1836 ax-6 1885 ax-7 1932 ax-8 1989 ax-9 1996 ax-10 2016 ax-11 2031 ax-12 2044 ax-13 2245 ax-ext 2601 ax-rep 4731 ax-sep 4741 ax-nul 4749 ax-pow 4803 ax-pr 4867 ax-un 6902 ax-cnex 9936 ax-resscn 9937 ax-1cn 9938 ax-icn 9939 ax-addcl 9940 ax-addrcl 9941 ax-mulcl 9942 ax-mulrcl 9943 ax-mulcom 9944 ax-addass 9945 ax-mulass 9946 ax-distr 9947 ax-i2m1 9948 ax-1ne0 9949 ax-1rid 9950 ax-rnegex 9951 ax-rrecex 9952 ax-cnre 9953 ax-pre-lttri 9954 ax-pre-lttrn 9955 ax-pre-ltadd 9956 ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1037 df-3an 1038 df-tru 1483 df-ex 1702 df-nf 1707 df-sb 1878 df-eu 2473 df-mo 2474 df-clab 2608 df-cleq 2614 df-clel 2617 df-nfc 2750 df-ne 2791 df-nel 2894 df-ral 2912 df-rex 2913 df-reu 2914 df-rab 2916 df-v 3188 df-sbc 3418 df-csb 3515 df-dif 3558 df-un 3560 df-in 3562 df-ss 3569 df-pss 3571 df-nul 3892 df-if 4059 df-pw 4132 df-sn 4149 df-pr 4151 df-tp 4153 df-op 4155 df-uni 4403 df-int 4441 df-iun 4487 df-br 4614 df-opab 4674 df-mpt 4675 df-tr 4713 df-eprel 4985 df-id 4989 df-po 4995 df-so 4996 df-fr 5033 df-we 5035 df-xp 5080 df-rel 5081 df-cnv 5082 df-co 5083 df-dm 5084 df-rn 5085 df-res 5086 df-ima 5087 df-pred 5639 df-ord 5685 df-on 5686 df-lim 5687 df-suc 5688 df-iota 5810 df-fun 5849 df-fn 5850 df-f 5851 df-f1 5852 df-fo 5853 df-f1o 5854 df-fv 5855 df-riota 6565 df-ov 6607 df-oprab 6608 df-mpt2 6609 df-om 7013 df-1st 7113 df-2nd 7114 df-wrecs 7352 df-recs 7413 df-rdg 7451 df-1o 7505 df-oadd 7509 df-er 7687 df-en 7900 df-dom 7901 df-sdom 7902 df-fin 7903 df-card 8709 df-pnf 10020 df-mnf 10021 df-xr 10022 df-ltxr 10023 df-le 10024 df-sub 10212 df-neg 10213 df-nn 10965 df-2 11023 df-n0 11237 df-z 11322 df-uz 11632 df-fz 12269 df-fzo 12407 df-hash 13058 df-word 13238 df-lsw 13239

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 26766

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