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Theorem clwlkclwwlklem2a1 26760
Description: Lemma 1 for clwlkclwwlklem2a 26766. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑃,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a1
StepHypRef Expression
1 lencl 13263 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
2 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
3 peano2cnm 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
43subid1d 10325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((#‘𝑃) − 1))
54oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = (((#‘𝑃) − 1) − 1))
6 sub1m1 11228 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
75, 6eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
81, 2, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
109oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((#‘𝑃) − 2)))
1110raleqdv 3133 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1211biimpcd 239 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1413adantl 482 . . . . 5 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1514impcom 446 . . . 4 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
16 lsw 13290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
17 2m1e1 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 − 1) = 1
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 − 1) = 1)
1918eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
2019oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
211, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
22 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
23 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
2421, 22, 23subsubd 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
2520, 24eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
2625fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
2716, 26eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
30 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
3229, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
3332preq2d 4245 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
3433eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
3534biimpd 219 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
3635ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
3736com13 88 . . . . . . 7 ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
3837adantl 482 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
3938impcom 446 . . . . 5 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
4039impcom 446 . . . 4 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
41 ovex 6632 . . . . . 6 ((#‘𝑃) − 2) ∈ V
4241a1i 11 . . . . 5 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ V)
43 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
44 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
4544fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
4643, 45preq12d 4246 . . . . . . 7 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
4746eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑖 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
4847ralunsn 4390 . . . . 5 (((#‘𝑃) − 2) ∈ V → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4942, 48syl 17 . . . 4 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)))
5015, 40, 49mpbir2and 956 . . 3 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
51 1e2m1 11080 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
5352oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
5453, 24eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
5554oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
5655adantr 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
57 nn0re 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
58 2re 11034 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
6057, 59subge0d 10561 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
6160biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
62 nn0z 11344 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
63 2z 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
6562, 64zsubcld 11431 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
6661, 65jctild 565 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
671, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))))
6867imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
69 elnn0z 11334 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
7068, 69sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
71 elnn0uz 11669 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ‘0))
7270, 71sylib 208 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ‘0))
73 fzosplitsn 12517 . . . . . . 7 (((#‘𝑃) − 2) ∈ (ℤ‘0) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
7472, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
7556, 74eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
7675adantr 481 . . . 4 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}))
7776raleqdv 3133 . . 3 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((#‘𝑃) − 2)) ∪ {((#‘𝑃) − 2)}){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7850, 77mpbird 247 . 2 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
7978ex 450 1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cun 3553  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613  ran crn 5075  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
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This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a  26766
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