MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlklem2a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlklem2a2 26778
Description: Lemma 2 for clwlkclwwlklem2a 26783. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2a2 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a2
StepHypRef Expression
1 lencl 13271 . . . 4 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
2 nn0z 11352 . . . . . 6 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
32adantr 481 . . . . 5 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
4 0red 9993 . . . . . 6 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ∈ ℝ)
5 2re 11042 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . 6 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
7 nn0re 11253 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . 6 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
9 2pos 11064 . . . . . . 7 0 < 2
109a1i 11 . . . . . 6 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 < 2)
11 simpr 477 . . . . . 6 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
124, 6, 8, 10, 11ltletrd 10149 . . . . 5 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 < (#‘𝑃))
13 elnnz 11339 . . . . 5 ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑃)))
143, 12, 13sylanbrc 697 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
151, 14sylan 488 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
16 nnm1nn0 11286 . . 3 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
1715, 16syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
18 fvex 6163 . . . 4 (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ V
19 fvex 6163 . . . 4 (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ V
2018, 19ifex 4133 . . 3 if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ V
21 clwlkclwwlklem2.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
2220, 21fnmpti 5984 . 2 𝐹 Fn (0..^((#‘𝑃) − 1))
23 ffzo0hash 13179 . 2 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0𝐹 Fn (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
2417, 22, 23sylancl 693 1 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4063  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078   Fn wfn 5847  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  cn 10972  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a3  26779  clwlkclwwlklem2a  26783
  Copyright terms: Public domain W3C validator