clwlkclwwlklem2a4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkclwwlklem2a4 27769

Description: Lemma 4 for clwlkclwwlklem2a 27770. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a4	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑃 𝑥,𝐸 𝑥,𝑉 𝑥,𝐼 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑥) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)))
2		lencl 13877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
3		clwlkclwwlklem2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
4	3	clwlkclwwlklem2fv2 27768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
5	2, 4	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐹‘((♯‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
6	1, 5	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
7	6	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
8	7	3adant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
9	8	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
10	9	impcom 410	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
11	10	fveq2d 6669	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
12		f1f1orn 6621	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
13	12	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
14	13	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
15		lsw 13910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
16	15	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)))
17		nn0cn 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
19		2cnd 11709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
20		1cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	subsubd 11019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
22		2m1e1 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 1) = 1
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
24	23	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑃) − 1))
25	21, 24	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℂ → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
26	2, 17, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
27	26	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (((♯‘𝑃) − 2) + 1) = ((♯‘𝑃) − 1))
28	27	fveq2d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
29		eqeq2 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
30	29	eqcoms 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → ((𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1))))
32	28, 31	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
33	32	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
34	16, 33	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
35	34	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
37	36	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
38	37	impcom 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
39	38	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
40	39	preq2d 4670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
41		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
42		fvoveq1 7173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
43	41, 42	preq12d 4671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
44	43	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
45	44	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
46	40, 45	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
47	46	eleq1d 2897	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
48	47	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
49	48	impancom 454	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
50	49	impcom 410	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
51		f1ocnvfv2 7028	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
52	14, 50, 51	syl2an2 684	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
53		eqcom 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
54	53	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
55		1e2m1 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (2 − 1)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
57	56	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = ((♯‘𝑃) − (2 − 1)))
58	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
59		2cnd 11709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
60		1cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	subsubd 11019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
62	57, 61	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 2) + 1))
63	62	fveq2d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
64	54, 63	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
65	64	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
66	16, 65	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))))
67	66	imp 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1)))
68	67	preq2d 4670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
69	68	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
70	43	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((♯‘𝑃) − 2) + 1))})
71	69, 70	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (lastS‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
72	71	exp31 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
73	72	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
74	73	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
75	74	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
76	75	impcom 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
77	76	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
78	77	impcom 410	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
79	11, 52, 78	3eqtrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
80		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀)
81		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 1) = (2 − 1))
82	81, 22	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 1) = 1)
83	82	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = (0..^1))
84	83	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^1)))
85		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 2) = (2 − 2))
86		2cn 11706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℂ
87	86	subidi 10951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 2) = 0
88	85, 87	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((♯‘𝑃) − 2) = 0)
89	88	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 = 0))
90	89	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = 0))
91	84, 90	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0)))
92		elsni 4578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
93	92	pm2.24d 154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
94		fzo01 13113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0..^1) = {0}
95	93, 94	eleq2s 2931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^1) → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
96	95	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
97	91, 96	syl6bi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
98	97	adantld 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
99		df-ne 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑃) ≠ 2 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 2)
100		2re 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
102		nn0re 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
103	102	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
104		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
105	101, 103, 104	leltned 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (2 < (♯‘𝑃) ↔ (♯‘𝑃) ≠ 2))
106		elfzo0 13072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)))
107		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ₀)
108		nn0z 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
109		2z 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 2 ∈ ℤ
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
111	108, 110	zsubcld 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
112	111	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
114	113, 102	posdifd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (♯‘𝑃) ↔ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
115	114	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → 0 < ((♯‘𝑃) − 2))
116		elnnz 11985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘𝑃) − 2)))
117	112, 115, 116	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
118	117	ad5ant24 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
119		nn0z 11999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℤ)
120		peano2zm 12019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
121	108, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
122		zltlem1 12029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
123	119, 121, 122	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
124	17	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
125		1cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
126	124, 125, 125	subsub4d 11022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − (1 + 1)))
127		1p1e2 11756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (1 + 1) = 2
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (1 + 1) = 2)
129	128	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑃) − (1 + 1)) = ((♯‘𝑃) − 2))
130	126, 129	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((♯‘𝑃) − 1) − 1) = ((♯‘𝑃) − 2))
131	130	breq2d 5071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ (((♯‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
132	123, 131	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)))
133		necom 3069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 ≠ ((♯‘𝑃) − 2))
134		df-ne 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐼 ≠ ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))
135	133, 134	bitr2i 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼)
136		nn0re 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℝ)
137	136	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ∈ ℝ)
138	102, 113	resubcld 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
139	138	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
140		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2))
141		leltne 10724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ ((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼))
142	141	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
143	137, 139, 140, 142	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
144	143	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (((♯‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
145	135, 144	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
146	145	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ ((♯‘𝑃) − 2) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
147	132, 146	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
148	147	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
149	148	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
150	149	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
151	150	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
152	107, 118, 151	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
153	152	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (♯‘𝑃)) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
154	153	exp41 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))))
155	154	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → (𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))))
156	155	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
157	156	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
158	106, 157	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))))
159	158	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (2 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
160	159	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
161	160	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (2 < (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
162	105, 161	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) ≠ 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
163	99, 162	syl5bir 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
164	163	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))))
165	164	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (¬ (♯‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
166	165	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 2 → ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))))
167	98, 166	pm2.61i 184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
168		elfzo0 13072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
169	167, 168	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))
170	80, 169	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2))) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))
171	170	exp31 422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
172	2, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
173	172	imp 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
174	173	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
175	174	expd 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
176	175	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
177	176	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))))
178	177	impcom 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
179	178	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)))))
180	179	impcom 410	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))))
181	3	clwlkclwwlklem2fv1 27767	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
182	180, 181	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
183	182	fveq2d 6669	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
184		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)
185		f1ocnvfv2 7028	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
186	14, 184, 185	syl2an2 684	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
187	183, 186	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((♯‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
188	79, 187	pm2.61ian 810	. 2 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
189	188	exp31 422	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 ≠ wne 3016 ifcif 4467 {csn 4561 {cpr 4563 class class class wbr 5059 ↦ cmpt 5139 ^◡ccnv 5549 dom cdm 5550 ran crn 5551 –1-1→wf1 6347 –1-1-onto→wf1o 6349 ‘cfv 6350 (class class class)co 7150 ℂcc 10529 ℝcr 10530 0cc0 10531 1c1 10532 + caddc 10534 < clt 10669 ≤ cle 10670 − cmin 10864 ℕcn 11632 2c2 11686 ℕ₀cn0 11891 ℤcz 11975 ..^cfzo 13027 ♯chash 13684 Word cword 13855 lastSclsw 13908

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2156 ax-12 2172 ax-ext 2793 ax-rep 5183 ax-sep 5196 ax-nul 5203 ax-pow 5259 ax-pr 5322 ax-un 7455 ax-cnex 10587 ax-resscn 10588 ax-1cn 10589 ax-icn 10590 ax-addcl 10591 ax-addrcl 10592 ax-mulcl 10593 ax-mulrcl 10594 ax-mulcom 10595 ax-addass 10596 ax-mulass 10597 ax-distr 10598 ax-i2m1 10599 ax-1ne0 10600 ax-1rid 10601 ax-rnegex 10602 ax-rrecex 10603 ax-cnre 10604 ax-pre-lttri 10605 ax-pre-lttrn 10606 ax-pre-ltadd 10607 ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rab 3147 df-v 3497 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4833 df-int 4870 df-iun 4914 df-br 5060 df-opab 5122 df-mpt 5140 df-tr 5166 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5469 df-so 5470 df-fr 5509 df-we 5511 df-xp 5556 df-rel 5557 df-cnv 5558 df-co 5559 df-dm 5560 df-rn 5561 df-res 5562 df-ima 5563 df-pred 6143 df-ord 6189 df-on 6190 df-lim 6191 df-suc 6192 df-iota 6309 df-fun 6352 df-fn 6353 df-f 6354 df-f1 6355 df-fo 6356 df-f1o 6357 df-fv 6358 df-riota 7108 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-om 7575 df-1st 7683 df-2nd 7684 df-wrecs 7941 df-recs 8002 df-rdg 8040 df-1o 8096 df-oadd 8100 df-er 8283 df-en 8504 df-dom 8505 df-sdom 8506 df-fin 8507 df-card 9362 df-pnf 10671 df-mnf 10672 df-xr 10673 df-ltxr 10674 df-le 10675 df-sub 10866 df-neg 10867 df-nn 11633 df-2 11694 df-n0 11892 df-z 11976 df-uz 12238 df-fz 12887 df-fzo 13028 df-hash 13685 df-word 13856 df-lsw 13909

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 27770

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