MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlklem2fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlklem2fv1 27118
Description: Lemma 4a for clwlkclwwlklem2a 27121. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem2fv1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkclwwlklem2fv1
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlklem2.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
21a1i 11 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))))
3 breq1 4807 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2)))
4 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐼))
5 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 + 1) = (𝐼 + 1))
65fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
74, 6preq12d 4420 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
87fveq2d 6356 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
94preq1d 4418 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})
109fveq2d 6356 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)}))
113, 8, 10ifbieq12d 4257 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})))
12 elfzolt2 12673 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
1312adantl 473 . . . 4 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2))
1413iftrued 4238 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
1511, 14sylan9eqr 2816 . 2 ((((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
16 nn0z 11592 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
17 2z 11601 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1817a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
1916, 18zsubcld 11679 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
20 peano2zm 11612 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
2116, 20syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
22 1red 10247 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
23 2re 11282 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
25 nn0re 11493 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
26 1le2 11433 . . . . . . 7 1 ≤ 2
2726a1i 11 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
2822, 24, 25, 27lesub2dd 10836 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1))
29 eluz2 11885 . . . . 5 (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)) ↔ (((♯‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑃) − 2) ≤ ((♯‘𝑃) − 1)))
3019, 21, 28, 29syl3anbrc 1429 . . . 4 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)))
31 fzoss2 12690 . . . 4 (((♯‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑃) − 2)) → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3332sselda 3744 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
34 fvexd 6364 . 2 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
352, 15, 33, 34fvmptd 6450 1 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 2))) → (𝐹𝐼) = (𝐸‘{(𝑃𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  ifcif 4230  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ..^cfzo 12659  chash 13311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem2a4  27120
  Copyright terms: Public domain W3C validator