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Theorem clwlkclwwlklem3 26786
Description: Lemma 3 for clwlkclwwlk 26787. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlklem3 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑓,𝑉,𝑖

Proof of Theorem clwlkclwwlklem3
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1𝑅)
2 simp1 1059 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
32adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → 𝑓 ∈ Word dom 𝐸)
41, 3anim12i 589 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑓 ∈ Word dom 𝐸))
5 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
6 simpl2 1063 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)
75, 6anim12ci 590 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)))
8 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
98anim1i 591 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))
109adantl 482 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))))
11 clwlkclwwlklem2 26785 . . . . . 6 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑓 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
124, 7, 10, 11syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
13 lencl 13271 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
14 lencl 13271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝑓) ∈ ℕ0)
15 ffz0hash 13177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1))
16 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑓) + 1) − 1))
1716oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0))
18 nn0cn 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (#‘𝑓) ∈ ℂ)
19 peano2cn 10160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑓) ∈ ℂ → ((#‘𝑓) + 1) ∈ ℂ)
20 peano2cnm 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑓) + 1) ∈ ℂ → (((#‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 1) ∈ ℂ)
2221subid1d 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (((#‘𝑓) + 1) − 1))
23 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2418, 23pncand 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 1) = (#‘𝑓))
2522, 24eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((((#‘𝑓) + 1) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2717, 26sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (((#‘𝑃) − 1) − 0) = (#‘𝑓))
2827oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1) = ((#‘𝑓) − 1))
2928oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)) = (0..^((#‘𝑓) − 1)))
3029raleqdv 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
31 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑃) − 2) = (((#‘𝑓) + 1) − 2))
32 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
3318, 32, 23subsub3d 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) − (2 − 1)) = (((#‘𝑓) + 1) − 2))
34 2m1e1 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 − 1) = 1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
3635oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) − (2 − 1)) = ((#‘𝑓) − 1))
3733, 36eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑓) + 1) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (((#‘𝑓) + 1) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
3931, 38sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((#‘𝑃) − 2) = ((#‘𝑓) − 1))
4039fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝑃‘((#‘𝑓) − 1)))
4140preq1d 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)})
4241eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ({(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
4330, 42anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4443anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
45 3anass 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4644, 45syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
4746expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → (((#‘𝑓) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
4847expd 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) = ((#‘𝑓) + 1) → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
4915, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑓) ∈ ℕ0𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
5049ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
5150com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑓) ∈ ℕ0 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
5214, 14, 51sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
5352imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
54533adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5554adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5613, 55syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
57563ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
5857imp 445 . . . . 5 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑓) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑓) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5912, 58mpbird 247 . . . 4 (((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
6059ex 450 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
6160exlimdv 1858 . 2 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
62 clwlkclwwlklem1 26784 . 2 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓)))))
6361, 62impbid 202 1 ((𝐸:dom 𝐸1-1𝑅𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝑓))) ↔ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((#‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  {cpr 4155   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080  wf 5848  1-1wf1 5849  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  cle 10027  cmin 10218  2c2 11022  0cn0 11244  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238   lastS clsw 13239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-lsw 13247
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk  26787
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