Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clwlkis1wlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkis1wlk 40962
Description: A closed walk is a walk (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkis1wlk (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem clwlkis1wlk
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkS 40959 . . 3 (𝐺 ∈ V → (ClWalkS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})
21brfvopab 6575 . 2 (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3 isclWlk 40960 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
4 simpl 471 . . 3 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
53, 4syl6bi 241 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃))
62, 5mpcom 37 1 (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cfv 5789  0cc0 9792  #chash 12936  1Walksc1wlks 40777  ClWalkScclwlks 40957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-hash 12937  df-word 13102  df-1wlks 40781  df-clwlks 40958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator