Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlksfclwwlk2wrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlksfclwwlk2wrd 26841
 Description: The second component of a closed walk is a word over the "vertices". (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlksfclwwlk.1 𝐴 = (1st𝑐)
clwlksfclwwlk.2 𝐵 = (2nd𝑐)
clwlksfclwwlk.c 𝐶 = {𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝐴) = 𝑁}
clwlksfclwwlk.f 𝐹 = (𝑐𝐶 ↦ (𝐵 substr ⟨0, (#‘𝐴)⟩))
Assertion
Ref Expression
clwlksfclwwlk2wrd (𝑐𝐶𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
Distinct variable group:   𝐺,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝐶(𝑐)   𝐹(𝑐)   𝑁(𝑐)

Proof of Theorem clwlksfclwwlk2wrd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlksfclwwlk.c . . 3 𝐶 = {𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝐴) = 𝑁}
21rabeq2i 3186 . 2 (𝑐𝐶 ↔ (𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝐴) = 𝑁))
3 eqid 2621 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4 eqid 2621 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5 clwlksfclwwlk.1 . . . . 5 𝐴 = (1st𝑐)
6 clwlksfclwwlk.2 . . . . 5 𝐵 = (2nd𝑐)
73, 4, 5, 6clwlkcompim 26562 . . . 4 (𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐴 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))if-((𝐵𝑖) = (𝐵‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐴𝑖)) = {(𝐵𝑖)}, {(𝐵𝑖), (𝐵‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐴𝑖))) ∧ (𝐵‘0) = (𝐵‘(#‘𝐴)))))
8 lencl 13271 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
9 nn0z 11352 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
10 fzval3 12485 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0...(#‘𝐴)) = (0..^((#‘𝐴) + 1)))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0...(#‘𝐴)) = (0..^((#‘𝐴) + 1)))
1211feq2d 5993 . . . . . . . 8 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝐵:(0..^((#‘𝐴) + 1))⟶(Vtx‘𝐺)))
1312biimpa 501 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐵:(0..^((#‘𝐴) + 1))⟶(Vtx‘𝐺))
14 iswrdi 13256 . . . . . . 7 (𝐵:(0..^((#‘𝐴) + 1))⟶(Vtx‘𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
168, 15sylan 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1716adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵:(0...(#‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))if-((𝐵𝑖) = (𝐵‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐴𝑖)) = {(𝐵𝑖)}, {(𝐵𝑖), (𝐵‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐴𝑖))) ∧ (𝐵‘0) = (𝐵‘(#‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
187, 17syl 17 . . 3 (𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1918adantr 481 . 2 ((𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝐴) = 𝑁) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
202, 19sylbi 207 1 (𝑐𝐶𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  if-wif 1011   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911   ⊆ wss 3559  {csn 4153  {cpr 4155  ⟨cop 4159   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  1st c1st 7118  2nd c2nd 7119  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  ℕ0cn0 11244  ℤcz 11329  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238   substr csubstr 13242  Vtxcvtx 25791  iEdgciedg 25792  ClWalkscclwlks 26552 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-wlks 26382  df-clwlks 26553 This theorem is referenced by:  clwlksfclwwlk2sswd  26844  clwlksfclwwlk  26845
 Copyright terms: Public domain W3C validator