MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwisshclwwslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwisshclwwslem 26810
Description: Lemma for clwwisshclwws 26811. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwslem ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝑖,𝑊,𝑗

Proof of Theorem clwwisshclwwslem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 12419 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 cshwlen 13490 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (#‘𝑊))
31, 2sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (#‘𝑊))
43oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
54oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) = (0..^((#‘𝑊) − 1)))
65eleq2d 2684 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
76adantr 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
8 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
91ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 lencl 13271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
11 nn0z 11352 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
12 peano2zm 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
14 nn0re 11253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
1514lem1d 10909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
16 eluz2 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
1713, 11, 15, 16syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)))
20 fzoss2 12445 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘((#‘𝑊) − 1)) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
2221sselda 3587 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
23 cshwidxmod 13494 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
248, 9, 22, 23syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
25 elfzo1 12466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)))
2625simp2bi 1075 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
28 elfzom1p1elfzo 12496 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
2927, 28sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
30 cshwidxmod 13494 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
318, 9, 29, 30syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
3224, 31preq12d 4251 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))})
3332adantlr 750 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))})
34 2z 11361 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
36 nnz 11351 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
37363ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
38 nnnn0 11251 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
39383ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
40 nnne0 11005 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ≠ 0)
41403ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ≠ 0)
42 1red 10007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
43 nnre 10979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44433ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45 nnre 10979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
46453ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
47 nnge1 10998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
48473ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 ≤ 𝑁)
49 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 𝑁 < (#‘𝑊))
5042, 44, 46, 48, 49lelttrd 10147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 < (#‘𝑊))
5142, 50gtned 10124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ≠ 1)
52 nn0n0n1ge2 11310 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 1) → 2 ≤ (#‘𝑊))
5339, 41, 51, 52syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
54 eluz2 11645 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)))
5535, 37, 53, 54syl3anbrc 1244 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
5625, 55sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
5756ad3antlr 766 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2))
58 elfzoelz 12419 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
5958adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
601ad3antlr 766 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
61 simplrl 799 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
62 lsw 13298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
6463preq1d 4249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)})
6564eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
6665biimpcd 239 . . . . . . . . . 10 ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
6867impcom 446 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
6968adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
70 clwwisshclwwslemlem 26809 . . . . . . 7 ((((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
7157, 59, 60, 61, 69, 70syl311anc 1337 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
7233, 71eqeltrd 2698 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
7372ex 450 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
747, 73sylbid 230 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
7574ralrimiv 2960 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
7675ex 450 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3559  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  cn 10972  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  ..^cfzo 12414   mod cmo 12616  #chash 13065  Word cword 13238   lastS clsw 13239   cyclShift ccsh 13479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-hash 13066  df-word 13246  df-lsw 13247  df-concat 13248  df-substr 13250  df-csh 13480
This theorem is referenced by:  clwwisshclwws  26811
  Copyright terms: Public domain W3C validator