Theorem clwwisshclwwsn 26795

Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Proof of Theorem clwwisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6612	. . . 4 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑊) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)))
2		eqid 2621	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlkbp 26750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅))
4	3	simp2d 1072	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		cshwn 13480	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (#‘𝑊)) = 𝑊)
8	1, 7	sylan9eq 2675	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (#‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = 𝑊)
9		simprl 793	. . 3 ⊢ ((𝑁 = (#‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
10	8, 9	eqeltrd 2698	. 2 ⊢ ((𝑁 = (#‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
11		simprl 793	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = (#‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
12		df-ne 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ (#‘𝑊) ↔ ¬ 𝑁 = (#‘𝑊))
13		fzofzim 12455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ (#‘𝑊) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
14	13	expcom 451	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝑁 ≠ (#‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))))
15	12, 14	syl5bir 233	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (¬ 𝑁 = (#‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))))
16	15	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (¬ 𝑁 = (#‘𝑊) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))))
17	16	impcom 446	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 = (#‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
18		clwwisshclwws 26794	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
19	11, 17, 18	syl2anc 692	. 2 ⊢ ((¬ 𝑁 = (#‘𝑊) ∧ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
20	10, 19	pm2.61ian 830	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑁) ∈ (ClWWalks‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   cyclShift ccsh 13471  Vtxcvtx 25774  ClWWalkscclwwlks 26742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-substr 13242  df-csh 13472  df-clwwlks 26744

This theorem is referenced by:  clwwnisshclwwsn  26796