clwwlkccatlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlkccatlem 27112

Description: Lemma for clwwlkccat 27113: index 𝑗 is shifted up by (♯‘𝐴), and the case 𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) is covered by the "bridge" {(lastS‘𝐴), (𝐵‘0)} = {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺). (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkccatlem	⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑗 𝐵,𝑖,𝑗 𝑖,𝐺,𝑗

**Proof of Theorem clwwlkccatlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2	1	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		simplr 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4		lencl 13510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
5	4	nn0zd 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		fzossrbm1 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
8	7	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
9	8	sselda 3744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
10		ccatval1 13549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
11	2, 3, 9, 10	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
12	5	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
13		elfzom1elp1fzo 12729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
14	12, 13	sylan 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
15		ccatval1 13549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑖 + 1)))
16	2, 3, 14, 15	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑖 + 1)))
17	11, 16	preq12d 4420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))})
18	17	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → {(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} = {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))})
19	18	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ({(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ({(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	20	ralimdva 3100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
22	21	impancom 455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
23	22	3adant3 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	23	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	25	3ad2ant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
27	26	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
28	27	3adant3 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
29	1	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
30		simpl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
31	30	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
32		simprr 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ≠ ∅)
33	29, 31, 32	3jca 1123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
34	33	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
35		ccatval1lsw 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
37	36	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (lastS‘𝐴) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)))
38		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
39	4	nn0cnd 11545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
40		npcan1 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
42	41	ad2antrl 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
43	42	fveq2d 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)))
44		simplr 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐵 ≠ ∅)
45		ccatval21sw 13557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
46	29, 31, 44, 45	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
47	43, 46	eqtr2d 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐵‘0) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)))
48	47	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐵‘0) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)))
49	38, 48	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)))
50	37, 49	preq12d 4420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} = {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))})
51	50	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
52	51	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
53	52	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
54	53	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
55	54	expimpd 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
56	55	3ad2ant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
57	56	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
58	57	3adant2 1126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
59	58	3imp 1102	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
60		ralunb 3937	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
61		ovex 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ V
62		fveq2 6352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)))
63		oveq1 6820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → (𝑖 + 1) = (((♯‘𝐴) − 1) + 1))
64	63	fveq2d 6356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)))
65	62, 64	preq12d 4420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))})
66	65	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
67	61, 66	ralsn 4366	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
68	67	anbi2i 732	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
69	60, 68	bitri 264	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
70	28, 59, 69	sylanbrc 701	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
71		0z 11580	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
72		lennncl 13511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
73		0p1e1 11324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
74	73	fveq2i 6355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = (ℤ_≥‘1)
75	74	eleq2i 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘1))
76		elnnuz 11917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘1))
77	75, 76	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
78	72, 77	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
79		fzosplitsnm1 12737	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1))) → (0..^(♯‘𝐴)) = ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}))
80	71, 78, 79	sylancr 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝐴)) = ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}))
81	80	raleqdv 3283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
82	81	3ad2ant1 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
83	82	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84	70, 83	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
85		lencl 13510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
86	85	nn0zd 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
87		peano2zm 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
89	88	ad2antrl 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
90	89	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
91	90	anim1i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
92	91	ancomd 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ))
93		fzosubel3 12723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
94		fveq2 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
95		oveq1 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝑗 + 1) = ((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))
96	95	fveq2d 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
97	94, 96	preq12d 4420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → {(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} = {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))})
98	97	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → ({(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
99	98	rspcv 3445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
100	92, 93, 99	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
101	1	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
102	30	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
103	102	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
104	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
105	85	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
106		nn0addcl 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀)
107	106	nn0zd 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
108	104, 105, 107	syl2an 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
109		1nn0 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
110		eluzmn 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
111	108, 109, 110	sylancl 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
112	39	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
113	85	nn0cnd 11545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
114	113	ad2antrl 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
115		1cnd 10248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
116	112, 114, 115	addsubassd 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
117	116	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
118	117	fveq2d 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
119	111, 118	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
120		fzoss2 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
122	121	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
123	122	sselda 3744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
124		ccatval2 13550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
125	101, 103, 123, 124	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
126	117	oveq2d 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
127	126	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ↔ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
128	127	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ↔ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
129		eluzmn 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
130	5, 109, 129	sylancl 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
131	130	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
132		fzoss1 12689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ⊆ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ⊆ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
134	133	sseld 3743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
135	128, 134	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
136	135	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
137	5	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
138	86	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
139	137, 138	anim12i 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ))
140	139	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ))
141		simpl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
142		zaddcl 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
143	141, 142	jca 555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
144	140, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
145		elfzoelz 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
146		1z 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℤ
147	145, 146	jctir 562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
148		elfzomelpfzo 12766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
149	144, 147, 148	syl2an 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
150	136, 149	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
151		ccatval2 13550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))))
152	101, 103, 150, 151	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))))
153	145	zcnd 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
154	153	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ ℂ)
155		1cnd 10248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 1 ∈ ℂ)
156	112	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
157	154, 155, 156	addsubd 10605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴)) = ((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))
158	157	fveq2d 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
159	152, 158	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
160	125, 159	preq12d 4420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))})
161	160	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
162	100, 161	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
163	162	impancom 455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
164	163	ralrimiv 3103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
165	164	exp31 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
166	165	expcom 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
167	166	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
168	167	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
169	168	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
170	169	3adant3 1127	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
171	170	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
172	171	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
173	172	3imp 1102	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
174		ralunb 3937	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
175	84, 173, 174	sylanbrc 701	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
176		ccatlen 13547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
177	1, 30, 176	syl2anr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
178	177	oveq1d 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
179	39	ad2antrl 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
180	113	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
181		1cnd 10248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
182	179, 180, 181	addsubassd 10604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
183	178, 182	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
184	183	oveq2d 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
185		elnn0uz 11918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
186	4, 185	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
187	186	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
188		lennncl 13511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
189		nnm1nn0 11526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀)
190	188, 189	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀)
191		fzoun 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀) → (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
192	187, 190, 191	syl2anr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
193	184, 192	eqtrd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
194	193	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))))
195	194	3ad2ant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))))
196	195	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))))
197	196	3ad2ant1 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))))
198	197	imp 444	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
199	198	3adant3 1127	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
200	199	raleqdv 3283	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
201	175, 200	mpbird 247	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 383 ∧ w3a 1072 = wceq 1632 ∈ wcel 2139 ≠ wne 2932 ∀wral 3050 ∪ cun 3713 ⊆ wss 3715 ∅c0 4058 {csn 4321 {cpr 4323 ‘cfv 6049 (class class class)co 6813 ℂcc 10126 0cc0 10128 1c1 10129 + caddc 10131 − cmin 10458 ℕcn 11212 ℕ₀cn0 11484 ℤcz 11569 ℤ_≥cuz 11879 ..^cfzo 12659 ♯chash 13311 Word cword 13477 lastSclsw 13478 ++ cconcat 13479 Vtxcvtx 26073 Edgcedg 26138

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1871 ax-4 1886 ax-5 1988 ax-6 2054 ax-7 2090 ax-8 2141 ax-9 2148 ax-10 2168 ax-11 2183 ax-12 2196 ax-13 2391 ax-ext 2740 ax-rep 4923 ax-sep 4933 ax-nul 4941 ax-pow 4992 ax-pr 5055 ax-un 7114 ax-cnex 10184 ax-resscn 10185 ax-1cn 10186 ax-icn 10187 ax-addcl 10188 ax-addrcl 10189 ax-mulcl 10190 ax-mulrcl 10191 ax-mulcom 10192 ax-addass 10193 ax-mulass 10194 ax-distr 10195 ax-i2m1 10196 ax-1ne0 10197 ax-1rid 10198 ax-rnegex 10199 ax-rrecex 10200 ax-cnre 10201 ax-pre-lttri 10202 ax-pre-lttrn 10203 ax-pre-ltadd 10204 ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 384 df-an 385 df-3or 1073 df-3an 1074 df-tru 1635 df-ex 1854 df-nf 1859 df-sb 2047 df-eu 2611 df-mo 2612 df-clab 2747 df-cleq 2753 df-clel 2756 df-nfc 2891 df-ne 2933 df-nel 3036 df-ral 3055 df-rex 3056 df-reu 3057 df-rab 3059 df-v 3342 df-sbc 3577 df-csb 3675 df-dif 3718 df-un 3720 df-in 3722 df-ss 3729 df-pss 3731 df-nul 4059 df-if 4231 df-pw 4304 df-sn 4322 df-pr 4324 df-tp 4326 df-op 4328 df-uni 4589 df-int 4628 df-iun 4674 df-br 4805 df-opab 4865 df-mpt 4882 df-tr 4905 df-id 5174 df-eprel 5179 df-po 5187 df-so 5188 df-fr 5225 df-we 5227 df-xp 5272 df-rel 5273 df-cnv 5274 df-co 5275 df-dm 5276 df-rn 5277 df-res 5278 df-ima 5279 df-pred 5841 df-ord 5887 df-on 5888 df-lim 5889 df-suc 5890 df-iota 6012 df-fun 6051 df-fn 6052 df-f 6053 df-f1 6054 df-fo 6055 df-f1o 6056 df-fv 6057 df-riota 6774 df-ov 6816 df-oprab 6817 df-mpt2 6818 df-om 7231 df-1st 7333 df-2nd 7334 df-wrecs 7576 df-recs 7637 df-rdg 7675 df-1o 7729 df-oadd 7733 df-er 7911 df-en 8122 df-dom 8123 df-sdom 8124 df-fin 8125 df-card 8955 df-pnf 10268 df-mnf 10269 df-xr 10270 df-ltxr 10271 df-le 10272 df-sub 10460 df-neg 10461 df-nn 11213 df-n0 11485 df-z 11570 df-uz 11880 df-fz 12520 df-fzo 12660 df-hash 13312 df-word 13485 df-lsw 13486 df-concat 13487

This theorem is referenced by: clwwlkccat 27113

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