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Theorem clwwlkel 27752
Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
Assertion
Ref Expression
clwwlkel ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑤,𝐺   𝑖,𝑁   𝑤,𝑁   𝑃,𝑖   𝑤,𝑃
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑖)

Proof of Theorem clwwlkel
StepHypRef Expression
1 ccatws1n0 13979 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
323ad2ant2 1126 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅)
4 simprl 767 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5 fstwrdne0 13896 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
65s1cld 13945 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 ccatcl 13914 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
84, 6, 7syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
983adant3 1124 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
116adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12 elfzonn0 13070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
14 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
16 elfzo0 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)))
17 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
19 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 peano2rem 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2319adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2418, 22, 233jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2619ltm1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
2827anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁))
29 lttr 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑖 < (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁))
3025, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → 𝑖 < 𝑁)
3130ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑖 < (𝑁 − 1) → 𝑖 < 𝑁))
3231impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
33323adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
3416, 33sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑖 < 𝑁))
3534impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
36 elfzo0z 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
3713, 15, 35, 36syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
3837adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
39 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
4039eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4140ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4338, 42mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
44 ccatval1 13918 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
4510, 11, 43, 44syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
46 elfzom1p1elfzo 13105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
4746adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
4839ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^𝑁))
5047, 49eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
51 ccatval1 13918 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
5210, 11, 50, 51syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
5345, 52preq12d 4669 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
5453eleq1d 2894 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5554ralbidva 3193 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5655biimprcd 251 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5857expdcom 415 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
59583imp 1103 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
60 fzo0end 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
6139eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
6261adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
6360, 62syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
6463imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
65 ccatval1 13918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
664, 6, 64, 65syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
67 lsw 13904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
69 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(𝑁 − 1)))
7168, 70eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑃))
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑃))
7366, 72eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘𝑃) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
74 nncn 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
75 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7674, 75npcand 10989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7776fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
79 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
8079ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑁))
81 ccatws1ls 13980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = (𝑃‘0))
824, 5, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(♯‘𝑃)) = (𝑃‘0))
8378, 80, 823eqtr2rd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (𝑃‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
8473, 83preq12d 4669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
8584eleq1d 2894 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ({(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8685biimpcd 250 . . . . . . . . . 10 ({(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8786adantl 482 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8887expdcom 415 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
89883imp 1103 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
90 ovex 7178 . . . . . . . 8 (𝑁 − 1) ∈ V
91 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)))
92 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1)))
9391, 92preq12d 4669 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑁 − 1) → {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))})
9493eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9590, 94ralsn 4611 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑁 − 1)), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9689, 95sylibr 235 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9774, 75, 75addsubd 11006 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
9897oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^((𝑁 − 1) + 1)))
99 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
100 elnn0uz 12271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
10199, 100sylib 219 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
102 fzosplitsn 13133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 − 1) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
10498, 103eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}))
105104raleqdv 3413 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106 ralunb 4164 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ((0..^(𝑁 − 1)) ∪ {(𝑁 − 1)}){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107105, 106syl6bb 288 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1081073ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑁 − 1)} {((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
10959, 96, 108mpbir2and 709 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
110 ccatlen 13915 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
1114, 6, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
112 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘𝑃) = 𝑁)
113 s1len 13948 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1)
115112, 114oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
116115ad2antll 725 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((♯‘𝑃) + (♯‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
117111, 116eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
1181173adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))
119118oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
120119oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
121120raleqdv 3413 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
122109, 121mpbird 258 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
1233, 9, 1223jca 1120 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
124 nnnn0 11892 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
125 iswwlksn 27543 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
126124, 125syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
127 eqid 2818 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
128 eqid 2818 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
129127, 128iswwlks 27541 . . . . . 6 ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
130129anbi1i 623 . . . . 5 (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1)))
131126, 130syl6bb 288 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
1321313ad2ant1 1125 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)){((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑁 + 1))))
133123, 118, 132mpbir2and 709 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
134 lswccats1 13981 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
1354, 5, 134syl2anc 584 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = (𝑃‘0))
136 lbfzo0 13065 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
137136biimpri 229 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^𝑁))
13839eleq2d 2895 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 𝑁 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
139138adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
140137, 139syl5ibrcom 248 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
141140imp 407 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
142 ccatval1 13918 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
1434, 6, 141, 142syl3anc 1363 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) = (𝑃‘0))
144135, 143eqtr4d 2856 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁)) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
1451443adant3 1124 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
146 fveq2 6663 . . . 4 (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (lastS‘𝑤) = (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
147 fveq1 6662 . . . 4 (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
148146, 147eqeq12d 2834 . . 3 (𝑤 = (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) → ((lastS‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
149 clwwlkf1o.d . . 3 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
150148, 149elrab2 3680 . 2 ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0)))
151133, 145, 150sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  cun 3931  c0 4288  {csn 4557  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  lastSclsw 13902   ++ cconcat 13910  ⟨“cs1 13937  Vtxcvtx 26708  Edgcedg 26759  WWalkscwwlks 27530   WWalksN cwwlksn 27531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903  df-concat 13911  df-s1 13938  df-wwlks 27535  df-wwlksn 27536
This theorem is referenced by:  clwwlkfo  27756  clwwlknwwlkncl  27759
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