MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkextfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkextfrlem1 27067
Description: Lemma for numclwwlk2lem1 27090. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkextfrlem1 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Proof of Theorem clwwlkextfrlem1
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2 26621 . . . 4 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3 s1cl 13321 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
43adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 nn0p1gt0 11266 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (𝑁 + 1))
98adantl 482 . . . . . . . . 9 ((( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (𝑁 + 1))
109adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 0 < (𝑁 + 1))
11 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1211adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1312adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1410, 13mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 0 < (#‘𝑊))
15 ccatfv0 13306 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
162, 6, 14, 15syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
17 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
20 nn0cn 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
21 pncan1 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2519, 24eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑁 = ((#‘𝑊) − 1))
2625fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)))
27 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
284adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
298adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (𝑁 + 1))
3012adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
3129, 30mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (#‘𝑊))
32 hashneq0 13095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
3332bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3631, 35mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑊 ≠ ∅)
37 ccatval1lsw 13307 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
3827, 28, 36, 37syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
3926, 38eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ( lastS ‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
4039neeq1d 2849 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4140biimpd 219 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4241ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4342com23 86 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4443imp32 449 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))
4516, 44jca 554 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4645exp32 630 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
471, 46syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
4847imp 445 . 2 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4948impcom 446 1 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3891   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cmin 10210  0cn0 11236  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233  Vtxcvtx 25774   WWalksN cwwlksn 26587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-wwlks 26591  df-wwlksn 26592
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  27090
  Copyright terms: Public domain W3C validator