Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknbp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknbp0 26785
 Description: Basic properties of a closed walk of a fixed length as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkbp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknbp0 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))

Proof of Theorem clwwlknbp0
Dummy variables 𝑛 𝑤 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-clwwlksn 26779 . . 3 ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (#‘𝑤) = 𝑛})
21elmpt2cl 6841 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ V))
3 simpl 473 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ V))
43ancomd 467 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
5 isclwwlksn 26783 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
6 clwwlkbp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
76clwwlkbp 26784 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
87simp2d 1072 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
98anim1i 591 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))
105, 9syl6bi 243 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
1211imp 445 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁))
134, 12jca 554 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
142, 13mpancom 702 1 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2912  Vcvv 3190  ∅c0 3897  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℕcn 10980  #chash 13073  Word cword 13246  Vtxcvtx 25808  ClWWalkscclwwlks 26776   ClWWalksN cclwwlksn 26777 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-clwwlks 26778  df-clwwlksn 26779 This theorem is referenced by:  clwwlknbp  26786  clwwlknp  26788  isclwwlksng  26789  clwwlksnndef  26791  clwwlkclwwlkn  26792  clwwlksnwwlkncl  26821  clwwlksext2edg  26823  clwwnisshclwwsn  26830  erclwwlksnref  26846  numclwlk2lem2f  27125
 Copyright terms: Public domain W3C validator