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Theorem clwwlksf 41220
Description: Lemma 1 for clwwlksbij 41225: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlksbij.d 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
clwwlksbij.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩))
Assertion
Ref Expression
clwwlksf (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalkSN 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐹(𝑤,𝑡)

Proof of Theorem clwwlksf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6084 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘𝑡))
2 fveq1 6083 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
31, 2eqeq12d 2620 . . . 4 (𝑤 = 𝑡 → (( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)))
4 clwwlksbij.d . . . 4 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
53, 4elrab2 3328 . . 3 (𝑡𝐷 ↔ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)))
6 nnnn0 11142 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 iswwlksn 41039 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑡 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑡 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
9 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
119, 10iswwlks 41037 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1312anbi1d 736 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
148, 13bitrd 266 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
15 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16 peano2nn0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18 nnre 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1918lep1d 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
20 elfz2nn0 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
216, 17, 19, 20syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2221adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
23 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0...(#‘𝑡)) = (0...(𝑁 + 1)))
2423eleq2d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2524adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2722, 26mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
2815, 27jca 552 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡))))
29 swrd0len 13216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
3130ex 448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
32313ad2antl2 1216 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
3332impcom 444 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
3433adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
35 swrdcl 13213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
36353ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3736ad2antrl 759 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3837ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
39 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
4039oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
41 nncn 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
42 1cnd 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4341, 42pncand 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4443oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
4540, 44sylan9eqr 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
4645raleqdv 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47 nnz 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
48 peano2zm 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5018lem1d 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
51 eluz2 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
5249, 47, 50, 51syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
53 fzoss2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
56 ssralv 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
58 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5921adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
6024adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
6159, 60mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
6261ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
6354sseld 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6463ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6564imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 swrd0fv 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑡𝑖))
6766eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖))
6858, 62, 65, 67syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖))
6947ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 elfzom1elp1fzo 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7169, 70sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
72 swrd0fv 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘(𝑖 + 1)))
7372eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)))
7458, 62, 71, 73syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)))
7568, 74preq12d 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))})
7675eleq1d 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7776ralbidva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7877biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7978ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8079com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8157, 80syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8246, 81sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8382ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8483com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8584com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
8685imp 443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
87863adant1 1071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
8887imp 443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
8988impcom 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
9089ad2antrl 759 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
91 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 → ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9291oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 → (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9392adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9493raleqdv 3116 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9590, 94mpbird 245 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
96 simprl2 1099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9719ancli 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
9847peano2zd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
99 fznn 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
10197, 100mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
102101adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
103 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (1...(#‘𝑡)) = (1...(𝑁 + 1)))
104103eleq2d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
105104adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
106105adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
107102, 106mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)))
10896, 107jca 552 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))))
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))))
110 swrd0fvlsw 13237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))) → ( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
112 swrd0fv0 13234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
114113adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
115111, 114preq12d 4215 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)})
116 eqcom 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) ↔ (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
117116biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
118117adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
119 lsw 13146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
1201193ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
121120ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
122121adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
12339adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
124123, 43sylan9eqr 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
125124adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
126125fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
127118, 122, 1263eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = (𝑡𝑁))
128127preq2d 4214 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
12939, 43sylan9eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
130129oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
131130raleqdv 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
132 fzo0end 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
133 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡𝑖) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
134 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
135134fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)))
136133, 135preq12d 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = (𝑁 − 1) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))})
137136eleq1d 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
138137rspcva 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
139132, 138sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
14041, 42npcand 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
141140fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑡𝑁))
142141preq2d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
143142eleq1d 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
144143biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
145144adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
146139, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
147146ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
148147adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
149131, 148sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
150149ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
151150com3r 84 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
1521513ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))))
153152imp 443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺)))
154153impcom 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
155154adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ (Edg‘𝐺))
156128, 155eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
157115, 156eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
158157adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
15938, 95, 1583jca 1234 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
160 simpl 471 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
161159, 160jca 552 . . . . . . . 8 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
16234, 161mpancom 699 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
163162exp31 627 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))))
16414, 163sylbid 228 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))))
165164imp32 447 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
1669, 10isclwwlksnx 41195 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
167166adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
168165, 167mpbird 245 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑡 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺))
1695, 168sylan2b 490 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡𝐷) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺))
170 clwwlksbij.f . 2 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩))
171169, 170fmptd 6273 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalkSN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  {crab 2895  wss 3535  c0 3869  {cpr 4122  cop 4126   class class class wbr 4573  cmpt 4633  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   lastS clsw 13089   substr csubstr 13092  Vtxcvtx 40227  Edgcedga 40349  WWalkScwwlks 41026   WWalkSN cwwlksn 41027   ClWWalkSN cclwwlksn 41182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-lsw 13097  df-substr 13100  df-wwlks 41031  df-wwlksn 41032  df-clwwlks 41183  df-clwwlksn 41184
This theorem is referenced by:  clwwlksf1  41222  clwwlksfo  41223
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