Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlksn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlksn2 26783
 Description: A closed walk of length 2 represented as word is a word consisting of 2 symbols representing (not necessarily different) vertices connected by (at least) one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwlksn2 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlksn2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11132 . . 3 2 ∈ ℕ
2 eqid 2621 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2621 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
42, 3isclwwlksnx 26763 . . 3 (2 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = 2)))
51, 4ax-mp 5 . 2 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = 2))
6 3anass 1040 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7 oveq1 6614 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑊) = 2 → ((#‘𝑊) − 1) = (2 − 1))
8 2m1e1 11082 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
97, 8syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) = 2 → ((#‘𝑊) − 1) = 1)
109oveq2d 6623 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) = 2 → (0..^((#‘𝑊) − 1)) = (0..^1))
11 fzo01 12494 . . . . . . . . . . 11 (0..^1) = {0}
1210, 11syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) = 2 → (0..^((#‘𝑊) − 1)) = {0})
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) = {0})
1413raleqdv 3133 . . . . . . . 8 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15 c0ex 9981 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
16 fveq2 6150 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
17 oveq1 6614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
18 0p1e1 11079 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
1917, 18syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = 1)
2019fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
2116, 20preq12d 4248 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
2221eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2315, 22ralsn 4195 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
2414, 23syl6bb 276 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
25 prcom 4239 . . . . . . . . 9 {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), ( lastS ‘𝑊)}
26 lsw 13293 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
279fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) = 2 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘1))
2826, 27sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘1))
2928preq2d 4247 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {(𝑊‘0), ( lastS ‘𝑊)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
3025, 29syl5eq 2667 . . . . . . . 8 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
3130eleq1d 2683 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3224, 31anbi12d 746 . . . . . 6 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
33 anidm 675 . . . . . 6 (({(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
3432, 33syl6bb 276 . . . . 5 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3534pm5.32da 672 . . . 4 ((#‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
366, 35syl5bb 272 . . 3 ((#‘𝑊) = 2 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
3736pm5.32ri 669 . 2 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = 2) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = 2))
38 3anass 1040 . . 3 (((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((#‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
39 ancom 466 . . 3 (((#‘𝑊) = 2 ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = 2))
4038, 39bitr2i 265 . 2 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑊) = 2) ↔ ((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
415, 37, 403bitri 286 1 (𝑊 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((#‘𝑊) = 2 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {csn 4150  {cpr 4152  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   − cmin 10213  ℕcn 10967  2c2 11017  ..^cfzo 12409  #chash 13060  Word cword 13233   lastS clsw 13234  Vtxcvtx 25781  Edgcedg 25846   ClWWalksN cclwwlksn 26750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-hash 13061  df-word 13241  df-lsw 13242  df-clwwlks 26751  df-clwwlksn 26752 This theorem is referenced by:  numclwwlkovf2  27080
 Copyright terms: Public domain W3C validator