Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlksnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlksnfi 26779
 Description: If there is only a finite number of vertices, the number of closed walks of fixed length (as words) is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Revised by AV, 25-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwwlksnfi ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem clwwlksnfi
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlksn 26748 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁})
21adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁})
3 nnnn0 11243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43anim1i 591 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin))
54ancomd 467 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
6 wrdnfi 13277 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
8 clwwlkssswrd 26777 . . . . . 6 (ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
9 rabss2 3664 . . . . . 6 ((ClWWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁})
108, 9mp1i 13 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ⊆ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁})
117, 10ssfid 8127 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∣ (#‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)
122, 11eqeltrd 2698 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
1312ex 450 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
14 df-nel 2894 . . . . . . 7 (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
1514biimpri 218 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∉ ℕ)
1615olcd 408 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ))
17 clwwlksnndef 26757 . . . . 5 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
19 0fin 8132 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2018, 19syl6eqel 2706 . . 3 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
2120a1d 25 . 2 𝑁 ∈ ℕ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin))
2213, 21pm2.61i 176 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∉ wnel 2893  {crab 2911  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  #chash 13057  Word cword 13230  Vtxcvtx 25774  ClWWalkscclwwlks 26742   ClWWalksN cclwwlksn 26743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-clwwlks 26744  df-clwwlksn 26745 This theorem is referenced by:  qerclwwlksnfi  26816  hashclwwlksn0  26817  numclwwlkffin  27070  numclwwlk3lem  27096  numclwwlk4  27098
 Copyright terms: Public domain W3C validator