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Theorem clwwlkwwlksb 27205
Description: A nonempty word over vertices represents a closed walk iff the word concatenated with its first symbol represents a walk. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkwwlksb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlkwwlksb ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkwwlksb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 fstwrdne 13551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
32s1cld 13593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
41, 3jca 555 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
5 ccatlen 13567 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
7 s1len 13596 . . . . . . . . . . 11 (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
98oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
106, 9eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
1110oveq1d 6829 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
12 lencl 13530 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11565 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
1413adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15 1cnd 10268 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ ℂ)
1614, 15, 15addsubd 10625 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
1711, 16eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
1817oveq2d 6830 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
1918raleqdv 3283 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
20 lennncl 13531 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
21 nnm1nn0 11546 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
23 elnn0uz 11938 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
2422, 23sylib 208 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
25 fzosplitsn 12790 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
2726raleqdv 3283 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
28 ralunb 3937 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
3027, 29bitrd 268 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
3119, 30bitrd 268 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
321adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
332adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
3412nn0zd 11692 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
3534adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
36 elfzom1elfzo 12750 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3735, 36sylan 489 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38 ccats1val1 13620 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
3932, 33, 37, 38syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
40 elfzom1elp1fzo 12749 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
4135, 40sylan 489 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42 ccats1val1 13620 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4332, 33, 41, 42syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4439, 43preq12d 4420 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
4544eleq1d 2824 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4645ralbidva 3123 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
47 ovex 6842 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
48 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
49 oveq1 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → (𝑖 + 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
5049fveq2d 6357 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
5148, 50preq12d 4420 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
5251eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5347, 52ralsn 4366 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
5453a1i 11 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
55 fzo0end 12774 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5620, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
57 ccats1val1 13620 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
581, 2, 56, 57syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
59 lsw 13558 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
6059eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
6160adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
6258, 61eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
63 npcan1 10667 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
6564adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
6665fveq2d 6357 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)))
67 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
68 ccats1val2 13621 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
691, 2, 67, 68syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
7066, 69eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (𝑊‘0))
7162, 70preq12d 4420 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)})
7271eleq1d 2824 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
7354, 72bitrd 268 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
7446, 73anbi12d 749 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
7531, 74bitrd 268 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
76 ccat0 13568 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ ↔ (𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅)))
77 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅) → 𝑊 = ∅)
7876, 77syl6bi 243 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ → 𝑊 = ∅))
7978necon3d 2953 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
8079adantld 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
814, 80mpcom 38 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅)
82 wrdv 13526 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word V)
83 s1cli 13595 . . . . . . . . 9 ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
8483a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V)
8582, 84jca 555 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ∈ Word V ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V))
8685adantr 472 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word V ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V))
87 ccatalpha 13585 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word V ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
8886, 87syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
894, 88mpbird 247 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
9081, 89jca 555 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉))
91 clwwlkwwlksb.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
92 eqid 2760 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
9391, 92iswwlks 26960 . . . . 5 ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
94 df-3an 1074 . . . . 5 (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9593, 94bitri 264 . . . 4 ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9695a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
9790, 96mpbirand 531 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9891, 92isclwwlk 27128 . . . 4 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
99 3anass 1081 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
10098, 99bitri 264 . . 3 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
101100baib 982 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
10275, 97, 1013bitr4rd 301 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  cun 3713  c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  cmin 10478  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497  lastSclsw 13498   ++ cconcat 13499  ⟨“cs1 13500  Vtxcvtx 26094  Edgcedg 26159  WWalkscwwlks 26949  ClWWalkscclwwlk 27125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-wwlks 26954  df-clwwlk 27126
This theorem is referenced by:  clwwlknwwlksnb  27206
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