Theorem clwwnisshclwwsn 27830

Description: Cyclically shifting a closed walk as word of fixed length results in a closed walk as word of the same length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkclwwlkn 27800	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
2		clwwlknlen 27802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
4	3	oveq2d 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (0...𝑁) = (0...(♯‘𝑊)))
5	4	eleq2d 2896	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
6	5	biimpa 479	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		clwwisshclwwsn 27786	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8	1, 6, 7	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
9		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 27804	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		elfzelz 12900	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		cshwlen 14153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
13	10, 11, 12	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
14	2	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
15	13, 14	eqtrd 2854	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁)
16		isclwwlkn 27797	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁))
17	8, 15, 16	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  ℤcz 11973  ...cfz 12884  ♯chash 13682  Word cword 13853   cyclShift ccsh 14142  Vtxcvtx 26773  ClWWalkscclwwlk 27751   ClWWalksN cclwwlkn 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-hash 13683  df-word 13854  df-lsw 13907  df-concat 13915  df-substr 13995  df-pfx 14025  df-csh 14143  df-clwwlk 27752  df-clwwlkn 27795

This theorem is referenced by:  clwwlknscsh  27833