Theorem cmclsopn 21669

Description: The complement of a closure is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cmclsopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cmclsopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsval2 21657	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
3	2	difeq2d 4098	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))))
4		difss 4107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋
5	1	ntropn 21656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
6	4, 5	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
7	1	eltopss 21514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
9		dfss4 4234	. . . . 5 ⊢ (((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
10	8, 9	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
11	10, 6	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
12	11	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
13	3, 12	eqeltrd 2913	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  ∪ cuni 4837  ‘cfv 6354  Topctop 21500  intcnt 21624  clsccl 21625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-top 21501  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628

This theorem is referenced by:  elcls  21680