MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpcmet 23029
Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 33273. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
relcmpcmet.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
cmpcmet.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
cmpcmet (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem cmpcmet
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.1 . 2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 relcmpcmet.2 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 1rp 11783 . . 3 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5 cmpcmet.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Comp)
7 metxmet 22052 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
101mopntop 22158 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
13 rpxr 11787 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
143, 13mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
15 blssm 22136 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
169, 12, 14, 15syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
171mopnuni 22159 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
189, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
1916, 18sseqtrd 3622 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝐽)
20 eqid 2621 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2120clscld 20764 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
2211, 19, 21syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
23 cmpcld 21118 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
246, 22, 23syl2anc 692 . 2 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
251, 2, 4, 24relcmpcmet 23028 1 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3556   cuni 4404  cfv 5849  (class class class)co 6607  1c1 9884  *cxr 10020  +crp 11779  t crest 16005  ∞Metcxmt 19653  Metcme 19654  ballcbl 19655  MetOpencmopn 19658  Topctop 20620  Clsdccld 20733  clsccl 20735  Compccmp 21102  CMetcms 22965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ico 12126  df-rest 16007  df-topgen 16028  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-cmp 21103  df-fil 21563  df-flim 21656  df-fcls 21658  df-cfil 22966  df-cmet 22968
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator