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Theorem cmpcref 31013
Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
cmpcref Comp = CovHasRefFin

Proof of Theorem cmpcref
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin))
2 elin 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥 ∈ Fin))
31, 2sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥 ∈ Fin))
43simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑦)
5 elpwi 4547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑦𝑥𝑦)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥𝑦)
7 elpwi 4547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑗𝑦𝑗)
87ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑦𝑗)
96, 8sstrd 3974 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥𝑗)
10 velpw 4543 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑗𝑥𝑗)
119, 10sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑗)
123simprd 496 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
1311, 12elind 4168 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin))
14 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑗 = 𝑥)
15 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑗 = 𝑦)
1614, 15eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
17 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 𝑥 = 𝑥
18 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 𝑦 = 𝑦
1917, 18ssref 22048 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑗𝑥𝑦 𝑥 = 𝑦) → 𝑥Ref𝑦)
2011, 6, 16, 19syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → 𝑥Ref𝑦)
21 breq1 5060 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧Ref𝑦𝑥Ref𝑦))
2221rspcev 3620 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) ∧ 𝑥Ref𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
2313, 20, 22syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin)) ∧ 𝑗 = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
2423r19.29an 3285 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)
25 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin))
26 vex 3495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
27 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 = 𝑧
2827, 18isref 22045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V → (𝑧Ref𝑦 ↔ ( 𝑦 = 𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)))
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧Ref𝑦 ↔ ( 𝑦 = 𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣))
3029simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑧Ref𝑦 → ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣)
32 sseq2 3990 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑢𝑣𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)))
3332ac6sg 9898 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) → (∀𝑢𝑧𝑣𝑦 𝑢𝑣 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))))
3425, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)))
35 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓:𝑧𝑦)
3635frnd 6514 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓𝑦)
37 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
3837rnex 7606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran 𝑓 ∈ V
3938elpw 4542 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑦 ↔ ran 𝑓𝑦)
4036, 39sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑦)
4135ffnd 6508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓 Fn 𝑧)
42 elin 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑗𝑧 ∈ Fin))
4342simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
4443ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑧 ∈ Fin)
45 fnfi 8784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn 𝑧𝑧 ∈ Fin) → 𝑓 ∈ Fin)
4641, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑓 ∈ Fin)
47 rnfi 8795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ Fin → ran 𝑓 ∈ Fin)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ Fin)
4940, 48elind 4168 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin))
50 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑗 = 𝑦)
5127, 18refbas 22046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧Ref𝑦 𝑦 = 𝑧)
5251ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 = 𝑧)
53 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢(((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦)
54 nfra1 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)
5553, 54nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑢((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
56 rspa 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) ∧ 𝑢𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
5756adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) ∧ 𝑢𝑧) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
5857sseld 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) ∧ 𝑢𝑧) → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
5958ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑢𝑧 → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑢))))
6055, 59reximdai 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (∃𝑢𝑧 𝑥𝑢 → ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
61 eluni2 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 𝑧 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥𝑢)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 𝑧 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥𝑢))
63 fnunirn 7003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn 𝑧 → (𝑥 ran 𝑓 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6441, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 ran 𝑓 ↔ ∃𝑢𝑧 𝑥 ∈ (𝑓𝑢)))
6560, 62, 643imtr4d 295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → (𝑥 𝑧𝑥 ran 𝑓))
6665ssrdv 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑧 ran 𝑓)
6752, 66eqsstrd 4002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 ran 𝑓)
6836unissd 4854 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ran 𝑓 𝑦)
6967, 68eqssd 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑦 = ran 𝑓)
7050, 69eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → 𝑗 = ran 𝑓)
71 unieq 4838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ran 𝑓 𝑥 = ran 𝑓)
7271rspceeqv 3635 . . . . . . . . . . . 12 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) ∧ 𝑗 = ran 𝑓) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7349, 70, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) ∧ 𝑓:𝑧𝑦) ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7473expl 458 . . . . . . . . . 10 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ((𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥))
7574exlimdv 1925 . . . . . . . . 9 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → (∃𝑓(𝑓:𝑧𝑦 ∧ ∀𝑢𝑧 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥))
7634, 75mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)) ∧ 𝑧Ref𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7776r19.29an 3285 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)
7824, 77impbida 797 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) ∧ 𝑗 = 𝑦) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦))
7978pm5.74da 800 . . . . 5 ((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑗) → (( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) ↔ ( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8079ralbidva 3193 . . . 4 (𝑗 ∈ Top → (∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8180pm5.32i 575 . . 3 ((𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
82 eqid 2818 . . . 4 𝑗 = 𝑗
8382iscmp 21924 . . 3 (𝑗 ∈ Comp ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑦 ∩ Fin) 𝑗 = 𝑥)))
8482iscref 31007 . . 3 (𝑗 ∈ CovHasRefFin ↔ (𝑗 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑗( 𝑗 = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑗 ∩ Fin)𝑧Ref𝑦)))
8581, 83, 843bitr4i 304 . 2 (𝑗 ∈ Comp ↔ 𝑗 ∈ CovHasRefFin)
8685eqriv 2815 1 Comp = CovHasRefFin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535   cuni 4830   class class class wbr 5057  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  Fincfn 8497  Topctop 21429  Compccmp 21922  Refcref 22038  CovHasRefccref 31005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-fin 8501  df-r1 9181  df-rank 9182  df-card 9356  df-ac 9530  df-cmp 21923  df-ref 22041  df-cref 31006
This theorem is referenced by:  cmpfiref  31014  cmppcmp  31021
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