Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmpfiiin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpfiiin 36779
Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmpfiiin.x 𝑋 = 𝐽
cmpfiiin.j (𝜑𝐽 ∈ Comp)
cmpfiiin.s ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
cmpfiiin.z ((𝜑 ∧ (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 𝑘𝑙 𝑆) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
cmpfiiin (𝜑 → (𝑋 𝑘𝐼 𝑆) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝐼,𝑙   𝑘,𝐽,𝑙   𝑆,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem cmpfiiin
StepHypRef Expression
1 cmpfiiin.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2 cmptop 21138 . . . . 5 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 cmpfiiin.x . . . . 5 𝑋 = 𝐽
54topcld 20779 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 cmpfiiin.s . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
84cldss 20773 . . . . 5 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆𝑋)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑆𝑋)
109ralrimiva 2962 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐼 𝑆𝑋)
11 riinint 5352 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘𝐼 𝑆𝑋) → (𝑋 𝑘𝐼 𝑆) = ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)))
126, 10, 11syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑘𝐼 𝑆) = ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)))
136snssd 4316 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Clsd‘𝐽))
14 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘𝐼𝑆) = (𝑘𝐼𝑆)
157, 14fmptd 6351 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐼𝑆):𝐼⟶(Clsd‘𝐽))
16 frn 6020 . . . . 5 ((𝑘𝐼𝑆):𝐼⟶(Clsd‘𝐽) → ran (𝑘𝐼𝑆) ⊆ (Clsd‘𝐽))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝐼𝑆) ⊆ (Clsd‘𝐽))
1813, 17unssd 3773 . . 3 (𝜑 → ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽))
19 elin 3780 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼𝑙 ∈ Fin))
20 elpwi 4146 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼𝑙𝐼)
2120anim1i 591 . . . . . . 7 ((𝑙 ∈ 𝒫 𝐼𝑙 ∈ Fin) → (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin))
2219, 21sylbi 207 . . . . . 6 (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin))
23 cmpfiiin.z . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 𝑘𝑙 𝑆) ≠ ∅)
24 nesym 2846 . . . . . . 7 ((𝑋 𝑘𝑙 𝑆) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆))
2523, 24sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆))
2622, 25sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆))
2726nrexdv 2997 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆))
28 elrfirn2 36778 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘𝐼 𝑆𝑋) → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆)))
296, 10, 28syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆)))
3027, 29mtbird 315 . . 3 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆))))
31 cmpfii 21152 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)))) → ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)) ≠ ∅)
321, 18, 30, 31syl3anc 1323 . 2 (𝜑 ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)) ≠ ∅)
3312, 32eqnetrd 2857 1 (𝜑 → (𝑋 𝑘𝐼 𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3897  𝒫 cpw 4136  {csn 4155   cuni 4409   cint 4447   ciin 4493  cmpt 4683  ran crn 5085  wf 5853  cfv 5857  Fincfn 7915  ficfi 8276  Topctop 20638  Clsdccld 20760  Compccmp 21129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-top 20639  df-cld 20763  df-cmp 21130
This theorem is referenced by:  kelac1  37152
  Copyright terms: Public domain W3C validator