Theorem cmpkgen 22158

Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmpkgen	⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem cmpkgen

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		cmptop 22002	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	topopn 21513	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
7	6	snssd 4741	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
8		opnneiss 21725	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
10	1	restid 16706	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
11	3, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) = 𝐽)
12		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → 𝐽 ∈ Comp)
13	11, 12	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp)
14		oveq2 7163	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ∪ 𝐽 → (𝐽 ↾t 𝑘) = (𝐽 ↾t ∪ 𝐽))
15	14	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ∪ 𝐽 → ((𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp ↔ (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp))
16	15	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝐽 ↾t ∪ 𝐽) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
17	9, 13, 16	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽 ↾t 𝑘) ∈ Comp)
18	1, 2, 17	llycmpkgen2 22157	1 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935  {csn 4566  ∪ cuni 4837  ran crn 5555  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ↾_t crest 16693  Topctop 21500  neicnei 21704  Compccmp 21993  𝑘Genckgen 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-fin 8512  df-fi 8874  df-rest 16695  df-topgen 16716  df-top 21501  df-topon 21518  df-bases 21553  df-ntr 21627  df-nei 21705  df-cmp 21994  df-kgen 22141

This theorem is referenced by: (None)