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Theorem cmpsublem 21121
 Description: Lemma for cmpsub 21122. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cmpsublem ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑠,𝑡,𝐽   𝑆,𝑐,𝑑,𝑠,𝑡   𝑋,𝑐,𝑑,𝑠,𝑡

Proof of Theorem cmpsublem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabexg 4777 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V)
21ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V)
3 ssrab2 3671 . . . . . . 7 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ⊆ 𝐽
4 elpwg 4143 . . . . . . 7 ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V → ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ⊆ 𝐽))
53, 4mpbiri 248 . . . . . 6 ({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ V → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽)
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽)
7 unieq 4415 . . . . . . . 8 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → 𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
87sseq2d 3617 . . . . . . 7 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑆 𝑐𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
9 pweq 4138 . . . . . . . . 9 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → 𝒫 𝑐 = 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
109ineq1d 3796 . . . . . . . 8 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin))
1110rexeqdv 3137 . . . . . . 7 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
128, 11imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑐 = {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) ↔ (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
1312rspcva 3296 . . . . 5 (({𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
146, 13sylan 488 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
1514ex 450 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
16 cmpsub.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
1716restuni 20885 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1817adantr 481 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1918eqeq1d 2623 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 (𝐽t 𝑆) = 𝑠))
20 selpw 4142 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆) ↔ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆))
21 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆𝑡 𝑠))
22 eluni 4410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 𝑠 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠))
2321, 22syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠)))
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 ↔ ∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠)))
25 ssel 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆)))
2616sseq2i 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆𝑋𝑆 𝐽)
27 uniexg 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
28 ssexg 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 𝐽 𝐽 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
2928ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( 𝐽 ∈ V ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3027, 29sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3126, 30sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
32 elrest 16016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆)))
3331, 32syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆)))
34 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤𝑆) ⊆ 𝑤
35 sseq1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑤 ↔ (𝑤𝑆) ⊆ 𝑤))
3634, 35mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = (𝑤𝑆) → 𝑢𝑤)
3736sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑢 = (𝑤𝑆) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
38373ad2antl3 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
39383adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑡𝑤)
40 simp12 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑤𝐽)
41 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑠 ↔ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
4241biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑢 = (𝑤𝑆) ∧ 𝑢𝑠) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
43423ad2antl3 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
44433adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → (𝑤𝑆) ∈ 𝑠)
45 ineq1 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦𝑆) = (𝑤𝑆))
4645eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦𝑆) ∈ 𝑠 ↔ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
4746elrab 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ (𝑤𝐽 ∧ (𝑤𝑆) ∈ 𝑠))
4840, 44, 47sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → 𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
49 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤 ∈ V
50 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = 𝑤 → (𝑡𝑣𝑡𝑤))
51 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ 𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
5250, 51anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑤 → ((𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}) ↔ (𝑡𝑤𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
5349, 52spcev 3289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑡𝑤𝑤 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
5439, 48, 53syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) ∧ 𝑢𝑠𝑡𝑢) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
55543exp 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑤𝐽𝑢 = (𝑤𝑆)) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
5655rexlimdv3a 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑤𝐽 𝑢 = (𝑤𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5733, 56sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑢𝑠 → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑡𝑢 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
5958com4l 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢𝑠 → (𝑢 ∈ (𝐽t 𝑆) → (𝑡𝑢 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6025, 59sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → (𝑢𝑠 → (𝑡𝑢 → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6160com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑡𝑢 → (𝑢𝑠 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))))
6261impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (𝑡𝑢 → (𝑢𝑠 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6362impd 447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → ((𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6463exlimdv 1858 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (∃𝑢(𝑡𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6624, 65sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
6766ex 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ⊆ (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6820, 67sylan2b 492 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))))
6968imp 445 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆 → ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})))
70 eluni 4410 . . . . . . . . 9 (𝑡 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ ∃𝑣(𝑡𝑣𝑣 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
7169, 70syl6ibr 242 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑡𝑆𝑡 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
7271ssrdv 3593 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → 𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
73 pm2.27 42 . . . . . . . . 9 (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑))
74 elin 3779 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin) ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin))
75 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ∈ V
76 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥 = (𝑧𝑆) ↔ 𝑡 = (𝑧𝑆)))
7776rexbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑡 → (∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆) ↔ ∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆)))
7875, 77elab 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ↔ ∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆))
79 selpw 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ 𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠})
80 ssel 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑧𝑑𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠}))
81 ineq1 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑆) = (𝑧𝑆))
8281eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝑆) ∈ 𝑠 ↔ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠))
8382elrab 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ↔ (𝑧𝐽 ∧ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠))
84 eleq1a 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝑆) ∈ 𝑠 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝐽 ∧ (𝑧𝑆) ∈ 𝑠) → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8683, 85sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
8780, 86syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))
88872a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ⊆ {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
9079, 89sylanb 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))))
91903imp 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝑧𝑑 → (𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠)))
9291rexlimdv 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (∃𝑧𝑑 𝑡 = (𝑧𝑆) → 𝑡𝑠))
9378, 92syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → 𝑡𝑠))
9493ssrdv 3593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ⊆ 𝑠)
95 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑑 ∈ V
9695abrexex 7094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ V
9796elpw 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ 𝒫 𝑠 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ⊆ 𝑠)
9894, 97sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ 𝒫 𝑠)
99 abrexfi 8217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ Fin → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
10099ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
1011003adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ Fin)
10298, 101elind 3781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
103 dfss 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 𝑑𝑆 = (𝑆 𝑑))
104103biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑑𝑆 = (𝑆 𝑑))
105 uniiun 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑 = 𝑧𝑑 𝑧
106105ineq2i 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 𝑑) = (𝑆 𝑧𝑑 𝑧)
107 iunin2 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑑 (𝑆𝑧) = (𝑆 𝑧𝑑 𝑧)
108 incom 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆𝑧) = (𝑧𝑆)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑑 → (𝑆𝑧) = (𝑧𝑆))
110109iuneq2i 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑑 (𝑆𝑧) = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆)
111106, 107, 1103eqtr2i 2649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑑) = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆)
112104, 111syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 𝑑𝑆 = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆))
1131123ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = 𝑧𝑑 (𝑧𝑆))
11418ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1151143adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
116 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ V
117116inex1 4764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑆) ∈ V
118117dfiun2 4525 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑑 (𝑧𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → 𝑧𝑑 (𝑧𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
120113, 115, 1193eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
121 unieq 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → 𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)})
122121eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑡 (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}))
123122rspcev 3298 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)} ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑑 𝑥 = (𝑧𝑆)}) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)
124102, 120, 123syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ 𝑆 𝑑 ∧ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠)) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)
1251243exp 1261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ 𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∧ 𝑑 ∈ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
12674, 125sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin) → (𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
127126rexlimiv 3021 . . . . . . . . 9 (∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑 → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
12873, 127syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
129128com3r 87 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → (𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
13072, 129mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) ∧ 𝑆 = 𝑠) → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
131130ex 450 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (𝑆 = 𝑠 → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
13219, 131sylbird 250 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
133132com23 86 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → ((𝑆 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} → ∃𝑑 ∈ (𝒫 {𝑦𝐽 ∣ (𝑦𝑆) ∈ 𝑠} ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
13415, 133syld 47 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
135134ralrimdva 2964 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  {cab 2607  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  𝒫 cpw 4135  ∪ cuni 4407  ∪ ciun 4490  (class class class)co 6610  Fincfn 7906   ↾t crest 16009  Topctop 20626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-fin 7910  df-fi 8268  df-rest 16011  df-topgen 16032  df-top 20627  df-topon 20644  df-bases 20670 This theorem is referenced by:  cmpsub  21122
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